《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. [2024·吉林月考]一元二次方程$x^{2}-5x + 2 = 0$的根的判别式的值是（ ）
A. 33
B. 23
C. 17
D. $\sqrt{17}$

答案： C

2. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x + m = 0$的根的判别式的值为 - 4，则$m$的值为_______.

答案： 5

3. [2024·上海]以下一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A. $x^{2}-6x = 0$
B. $x^{2}-9 = 0$
C. $x^{2}-6x + 6 = 0$
D. $x^{2}-6x + 9 = 0$

答案： D

4. 母题教材P67随堂练习T1 一元二次方程$(x + 1)(x - 1)=2x + 3$的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

5. [2024·菏泽模拟]关于$x$的方程$x^{2}+mx - 2 = 0$的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

6. 已知一次函数$y = kx - b$的图象如图所示，则一元二次方程$x^{2}+bx + k = 0$的根的情况是（ ）

A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

答案： B

7. [2024·济南]若关于$x$的方程$x^{2}-x - m = 0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $m＜-\frac{1}{4}$
B. $m＞-\frac{1}{4}$
C. $m＜-4$
D. $m＞-4$

答案： B【点拨】
∵关于x的方程$x^{2}-x - m = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-m)=1 + 4m＞0$，解得$m＞-\frac{1}{4}$．

8. [2024·云南]若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + c = 0$无实数根，则实数$c$的取值范围为________.

答案： $c＞1$【点拨】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x + c = 0$无实数根，$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4c＜0$．$\therefore c＞1$．

9. [2024·南通]新视角·开放性试题 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的$k$的值：_______.

答案： 0(答案不唯一)【点拨】
∵一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4k＞0$，解得$k＜1$．
∴当$k = 0$时，方程有两个不相等的实数根．

10. [2024·广安]若关于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是（ ）
A. $m＜0$且$m\neq - 1$
B. $m\geq0$
C. $m\leq0$且$m\neq - 1$
D. $m＜0$

答案： A【点拨】
∵关于x的一元二次方程$(m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}m + 1\neq0,\\4 - 4(m + 1)＞0,\end{cases}$解得$m＜0$且$m\neq - 1$.故选A.

11. [2024·潍坊]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mx - n^{2}+mn + 1 = 0$，其中$m$，$n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

答案： C【点拨】$\because m - 2n = 3,\therefore b^{2}-4ac=(-m)^{2}-4(-n^{2}+mn + 1)=m^{2}+4n^{2}-4mn - 4=(m - 2n)^{2}-4=3^{2}-4 =5＞0$.
∴原方程有两个不相等的实数根.故选C.

12. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-x-\frac{1}{4}=0$（$a\neq0$）有两个不相等的实数根，则点$P(a + 1,-a - 3)$在第_______象限.

答案： 四【点拨】
∵关于x的一元二次方程$ax^{2}-x-\frac{1}{4}=0(a\neq0)$有两个不相等的实数根，$\therefore\begin{cases}a\neq0,\\b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×a×(-\frac{1}{4})＞0,\end{cases}$解得$a＞-1$且$a\neq0$.$\therefore a + 1＞0,-a - 3＜-2$.
∴点$P(a + 1, - a - 3)$在第四象限.

13. 如果关于$x$的方程$(m^{2}-4)x^{2}-2(m - 2)x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围为________.

答案： $m＜2$