《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6. 如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF. 求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FE}$.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
(1)
∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC = BC，CE = CD，∠DCE = ∠ACB = 60°.
∴∠DCE + ∠ACD = ∠ACB + ∠ACD，
即∠ACE = ∠BCD.
∴△ACE≌△BCD.
(2)
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC = ∠AEC.
又
∵∠GCD = 180° - ∠ACB - ∠DCE = 60° = ∠FCE，
CD = CE，
∴△GCD≌△FCE(ASA).
∴CG = CF.
∴△CFG为等边三角形.
∴∠CFG = 60°.
∴∠CFG = ∠DCE.
∴GF//CE.
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FE}$.

7. 如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE//BC交AC于点E，CF//BA交DE的延长线于点F. 求证：DE = EF.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
∵DE//BC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$.
∵D为AB的中点，
∴AD = DB，即$\frac{AD}{DB}=1$.
∵CF//BA，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{AE}{EC}$.
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{AD}{DB}=1$.
∴DE = EF.

8. 如图，延长矩形ABCD的一边CB至点E，连接ED，AE，且ED与AB相交于点F，过F作FG//BE交AE于点G，若AG = EG，求证：CB = EB.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
∵四边形ABCD为矩形，
∴BF//CD，AD//BE.
∴$\frac{EB}{BC}=\frac{EF}{FD}$.
∵FG//BE，
∴GF//AD.
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{EF}{FD}$.
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{EB}{BC}$.
又
∵AG = EG，
∴CB = EB.

9. 如图，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：$\frac{EB}{BC}+\frac{ED}{AD}=1$.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
∵AB//EF，
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{DF}{DB}$.
∵EF//CD，
∴$\frac{EB}{BC}=\frac{BF}{BD}$.
∴$\frac{EB}{BC}+\frac{ED}{AD}=\frac{BF}{BD}+\frac{DF}{DB}=\frac{BD}{BD}=1$.