《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. [2024·重庆渝中区模拟]如图，在矩形ABCD中，AD=13，AB=5，E为BC上一点，ED平分∠AEC，则CE的长为 ________.
　　　

答案： 1

12. 新考法 折叠法 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，将矩形沿EF折叠，使点B与点D重合，点A的对应点是点G，则图中阴影部分的面积为 ________.
　　　

答案： $\frac{1}{2}$

13. (10分) [2024·西安长安区模拟]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=AF，连接CE，CF. 求证：∠AEC=∠AFC.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： [证明]连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
　
∴∠EAC=∠FAC;
　　又
∵AE=AF,AC=AC,
∴△AEC≌△AFC.
　
∴∠AEC=∠AFC.

14. (10分) 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF=AB；
(2)若∠FDC=30°，且AB=4，求AD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是矩形,
　
∴∠B=90°,AD//BC.
∴∠AEB=∠DAF.
　
∵DF⊥AE,
∴∠DFA=90°.
∴∠DFA=∠B.
　　又
∵AD=EA,
∴△ADF≌△EAB.
∴DF=AB.
(2)[解]由题易知∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠FDC=∠DAF=30°.又
∵DF⊥AE,
∴AD=2DF.
∵DF=AB,
∴AD=2AB=8.

15. (10分) [2024·常州模拟]如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，过点A作AE//BC，且AE=BD，连接AD，CE.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCE的面积.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)[证明]
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
　
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=BD=CD.
　
∵AE=BD,
∴AE=DC.
　　又
∵AE//DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
　
∵AD=DC,
∴平行四边形ADCE是菱形.
(2)[解]
∵四边形ADCE是菱形,
∴S△ADC=S△AEC.
　
∵D是BC的中点,
∴S△ADC=S△ABD,
　
∴S菱形ADCE=S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·AB=$\frac{1}{2}$×6×8=24.

16. (10分) [2024·烟台莱山区期中]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB=13，AC=10，求AE的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是菱形,
　
∴AD//BC,AD=BC.
　
∵BE=CF,
　
∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF,
∴AD=EF.
　
∵AD//EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
　
∵AE⊥BC,
∴四边形AEFD是矩形.
(2)[解]
∵四边形ABCD是菱形,
　
∴AC⊥BD,AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=5,BC=AB=13.
　　在Rt△ABO中，由勾股定理得，
　
∴BO = $\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$ = $\sqrt{13^{2}-5^{2}}$ = 12,
∴BD=2BO=24.
　
∵AE⊥BC,
∴S菱形ABCD=BC·AE.
　
∵S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC·BD=BC·AE,
　
∴$\frac{1}{2}$×10×24=13·AE,
∴AE=$\frac{120}{13}$.