《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6. [2024·杭州上城区月考]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB = 60°，则$\frac{BC}{AB}$ = __________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： $\sqrt{3}$

7. [2024·德州月考]如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF = 90°.
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD = 13，CF = 5，求四边形ABCE的面积.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.
∵E为线段CD的中点，
∴DE=CE.
∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴AE=FE.
∴四边形ACFD是平行四边形.
又
∵∠ACF=90°，
∴四边形ACFD是矩形.
(2)【解】
∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD=90°,AD=CF=5,AC=DF.
∵CD=13,CF=5，
∴DF=$\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$.
∴AC=12.
∵DE=CE,
∴△DAE的面积=$\frac{1}{2}$△ACD的面积=$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times5\times12 = 15$.易得BC=AD=5，
∴平行四边形ABCD的面积=BC·AC=5×12=60.
∴四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD的面积 - △DAE的面积=60 - 15=45.

8. [2024·青岛市北区校级二模]如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为G，若FE = FC，EF⊥CF，OF = 3，则BE =（ ）
　　　
A. 3 B. $\sqrt{18}$ C. $\sqrt{27}$ D. $\sqrt{12}$

答案： B 【点拨】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,∠ABD=45°.
∵EF⊥CF,
∴∠EFC=90°=∠COF.
∴∠EFG=90° - ∠CFO=∠FCO.
∵EG⊥BD,
∴∠EGF=90°=∠COF.
又
∵FE=CF,
∴△EFG≌△FCO(AAS).
∴EG=OF=3.
∵∠ABD=45°,
∴∠BEG=45°=∠EBG.
∴BG=EG=3.
∴BE=$\sqrt{18}$.

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A(-3,0)，B(1,b)，则正方形ABCD的面积为________.
　　　

答案： 25

10. [2024·十堰模拟]如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.
(2)请直接写出当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)四边形BPCO是平行四边形，理由如下：
∵□ABCD的对角线AC,BD交于点O，
∴AO=OC,BO=OD.
易知BP=$\frac{1}{2}$AC=OC,CP=$\frac{1}{2}$BD=OB.
∴四边形BPCO是平行四边形.
(2)□ABCD的对角线满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形BPCO是正方形.

11. 如图，在矩形ABCD中，AB = 10，BC = 5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A₁，D₁处，求阴影部分图形的周长.
　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
∵在矩形ABCD中，AB=10,BC=5，
∴CD=AB=10,AD=BC=5.
根据折叠的性质可得A₁E=AE,A₁D₁=AD,D₁F=DF.
设线段D₁F与线段AB交于点M，
则阴影部分的周长为(A₁E+EM+MD₁+A₁D₁)+(MB+MF+FC+CB)=AE+EM+MD₁+AD+MB+MF+FC+CB=(AE+EM+MB)+(MD₁+MF)+FC+AD+CB=AB+FD₁+FC+AD+CB=AB+(FD+FC)+AD+CB=AB+CD+AD+CB=10+10+5+5=30.