《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 母题教材P41习题T1下列二次根式中能与$\sqrt{2}$合并的是 （ ）
A. $\sqrt{12}$
B. $\sqrt{0.3}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{50}$

答案： D

2. [2024·泰安岱岳区期末]下列二次根式：①$\sqrt{50}$；②$\sqrt{\frac{1}{2}}$；③$\sqrt{\frac{3}{2}}$；④$\sqrt{40}$。将它们都化为最简二次根式后，是同类二次根式的是 （ ）
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④

答案： A

3. [2024·菏泽模拟]若$\sqrt{27}$与最简二次根式$5\sqrt{a - 1}$是同类二次根式，则$a$的值为________。

答案： 4

4. 下列计算正确的是 （ ）
A. $\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B. $4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C. $\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
D. $3 + 2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

答案： C

5. [2024·烟台莱山区期末]在下列二次根式中，与$\sqrt{3}$的和等于$4\sqrt{3}$的是 （ ）
A. $3\sqrt{4}$
B. $\sqrt{12}$
C. $\sqrt{27}$
D. $\sqrt{18}$

答案： C

6. 计算：$|\sqrt{5}-\sqrt{6}|+|\sqrt{6}-\sqrt{7}|=$__________.

答案： $\sqrt{7}-\sqrt{5}$

7. 计算：
（1）$-2\sqrt{11}+4\sqrt{11}-6\sqrt{11}$；
（2）$2\sqrt{8}+6\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{32}$；
（3）$\frac{1}{2}\sqrt{32}-2\sqrt{75}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\frac{1}{27}}$。

答案： 【解】
(1)原式$=-4\sqrt{11}$.
(2)原式$=4\sqrt{2}+6\times\frac{\sqrt{2}}{2}-12\sqrt{2}=-5\sqrt{2}$.
(3)原式$=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}-2\times5\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{2}\sqrt{2}-\frac{31}{3}\sqrt{3}$.

8. 若$\sqrt{12}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$（$n$为正整数），则$m$的值可以是 （ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. 18
C. 24
D. 75

答案： D【点拨】因为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,所以$2\sqrt{3}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$.因为$n$为正整数,所以$\sqrt{m}$化简后为$a\sqrt{3}$的形式($a$为正整数).因为$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$,$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$,所以$m$的值可以是75.故选D.

9. [2024·重庆]已知$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}$，则实数$m$的范围是 （ ）
A. $2＜m＜3$
B. $3＜m＜4$
C. $4＜m＜5$
D. $5＜m＜6$

答案： B【点拨】$\because m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，$3＜\sqrt{12}＜4$，$\therefore 3＜m＜4$.故选B.

10. 已知$a + b=-5$，$ab = 4$，则$a\sqrt{\frac{b}{a}}+b\sqrt{\frac{a}{b}}$的值是 （ ）
A. 4
B. -4
C. 2
D. -2

答案： B【点拨】$\because a+b=-5$，$ab=4$，$\therefore a＜0$，$b＜0$.
$\therefore a\sqrt{\frac{b}{a}}+b\sqrt{\frac{a}{b}}=-(-a)\sqrt{\frac{b}{a}}-(-b)\sqrt{\frac{a}{b}}=-\sqrt{\frac{b}{a}\cdot(-a)^{2}}-\sqrt{\frac{a}{b}\cdot(-b)^{2}}=-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=-2\sqrt{ab}$
当$ab = 4$时，原式$=-2\times\sqrt{4}=-4$.故选B.

11. [2024·济宁任城区月考]若$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$a^{2}+b^{2}$的值是________.

答案： 13 - 2$\sqrt{3}$

12. 新视角 新定义题 我们规定运算符号“$\triangle$”的意义是：当$a＞b$时，$a\triangle b=a + b$；当$a\leq b$时，$a\triangle b=a - b$，其他运算符号的意义不变，计算：$(\sqrt{3}\triangle\sqrt{2})-(2\sqrt{3}\triangle3\sqrt{2})=$__________.

答案： $-\sqrt{3}+4\sqrt{2}$【点拨】$\because$当$a＞b$时，$a△b=a+b$；当$a\leq b$时，$a△b=a - b$，$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$，
$\therefore(\sqrt{3}△\sqrt{2})-(2\sqrt{3}△3\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})=-\sqrt{3}+4\sqrt{2}$.

13. [2024·泰安模拟]实数$a$，$b$对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式$\sqrt{(a - b)^{2}}+|b - \sqrt{5}|-(a+\sqrt{5})$，结果为________.

答案： -2a

14. 计算：
（1）$\sqrt{3}-3\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{8}+\frac{1}{2}\sqrt{12}+\frac{1}{5}\sqrt{50}$；
（2）$2\times(\sqrt{0.5}-2\sqrt{1\frac{1}{3}})-\frac{1}{2}\times(4\sqrt{0.125}-\sqrt{12})$；
（3）$a\sqrt{8a}-2a^{2}\sqrt{\frac{1}{8a}}+3\sqrt{2a^{3}}$。

答案： 【解】
(1)原式$=\sqrt{3}-3\times\frac{\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(2)原式$=2\times(-\sqrt{3})-\frac{1}{2}\times(\sqrt{2}-2\sqrt{3})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
(3)原式$=2a\sqrt{2a}-2a^{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2a}+3a\sqrt{2a}=\frac{9a}{2}\sqrt{2a}$.