《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 若关于x的方程$(m + 1)x^{|m| + 1}-(m - 1)x + 1 = 0$是一元二次方程，则m的值是 （ ）
A. -1
B. 1
C. ±1
D. 0

答案： B

2. [2024·陕西模拟] 已知x = 1是一元二次方程$x^{2}-4x - 2m + 5 = 0$的一个根，则m = ________.

答案： 1

3. [2024·南充] 已知m是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为________.

答案： －4

4. 按要求解下列方程：
(1)$(x-\frac{2}{5})^{2}=\frac{9}{25}$(直接开平方法)；
(2)$x^{2}-6x + 3 = 0$(配方法)；
(3)$3(x - 5)^{2}=x(5 - x)$(因式分解法)；
(4)$2x^{2}-3=-x$(公式法).

答案： 【解】
(1)$(x-\frac{2}{5})^2=\frac{9}{25}$，开平方，得$x-\frac{2}{5}=\pm\frac{3}{5}$，解得$x_1 = 1,x_2=-\frac{1}{5}$.
(2)$x^2 - 6x + 3 = 0$，移项，得$x^2 - 6x = -3$. 配方，得$x^2 - 6x + 9 = 6$. 即$(x - 3)^2 = 6$. 开平方，得$x - 3 = \pm\sqrt{6}$，解得$x_1 = 3+\sqrt{6},x_2 = 3-\sqrt{6}$.
(3)$3(x - 5)^2 = x(5 - x)$，移项，得$3(x - 5)^2 + x(x - 5) = 0$. 提公因式，得$(x - 5)(3x - 15 + x) =0$，即$(x - 5)(4x -15)=0$.$\therefore x -5 =0$或$4x-15 =0$，解得$x_1 =5,x_2=\frac{15}{4}$.
(4)$2x^2-3=-x$，移项，得$2x^2 + x-3 =0$. 这里$a =2,b =1,c=-3$.$\because\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times2\times(-3)=25＞0$.$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-1\pm5}{4}$. $\therefore x_1 =1,x_2=-\frac{3}{2}$.

5. [2024·淄博张店区校级月考] 关于一元二次方程$2x^{2}+mx = 3$的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

6. [2024·青岛期末] 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x + m^{2}=0$.
(1)若该方程的一个根为$x=\frac{1}{2}$，求实数m的值；
(2)若该方程有实数根，求实数m的取值范围.

答案： 【解】
(1)将$x=\frac{1}{2}$代入$x^2-2x+m^2=0$， 得$\frac{1}{4}-1+m^2=0$，解得$m=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore$实数$m$的值为$\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2)$\because$方程$x^2 - 2x + m^2 = 0$有实数根， $\therefore\Delta = 4 - 4\times1\times m^2\geqslant0$，$\therefore -1\leqslant m\leqslant1$， 即实数$m$的取值范围为$-1\leqslant m\leqslant1$.

7. [2024·临沂模拟] 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4x + m = 0$.
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=1$，求m的值.

答案： 【解】
(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$有两个实数根， $\therefore\Delta = (-4)^2 - 4m\geqslant0$，$\therefore m\leqslant4$.
(2)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m$.$\because x_1 + x_2 + x_1x_2 = 1$，$\therefore 4 + m = 1$，$\therefore m = -3$.$\because -3 ＜ 4$，$\therefore m = -3$符合题意，$\therefore m$的值为$-3$.