《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 对于方程$(ax + b)^2 = c$，下列叙述正确的是（ ）
A. 不论c为何值，方程均有实数根
B. 方程的根是$x = \frac{c - b}{a}$
C. 当$c\geq0$时，方程可化为$ax + b = \sqrt{c}$或$ax + b = -\sqrt{c}$
D. 当$c = 0$时，$x = \frac{b}{a}$

答案： 1.C

2. 求下列式子中未知数的值.
(1)$(2y - 3)^2 - 64 = 0$；
(2)$\sqrt{2}(6 - x)^2 = 128\sqrt{2}$；
(3)$(x + 3)^2 = 4(x - 2)^2$.

答案： 2.[解]
(1)(2y−3)²−64=0,
　移项,得(2y−3)²=64,
　则2y−3=±8,
∴y=$\frac{±8+3}{2}$.
∴y₁=$\frac{11}{2}$,y₂=−$\frac{5}{2}$.
(2)$\sqrt{2}$(6−x)²=128$\sqrt{2}$,
两边同时除以√2,得(x−6)²=128，
∴x−6=±8$\sqrt{2}$
∴x₁=6+8$\sqrt{2}$,x₂=6−8$\sqrt{2}$
(3)(x+3)²=4(x−2)²,
　两边开平方，得x+3=±2(x−2)，
∴x+3=2(x−2),或x+3=−2(x−2).
∴x+3=2x−4,或x+3=−2x+4.
∴x₁=7,x₂=$\frac{1}{3}$.

3. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 35 = 0$；
(2)$x^2 + 2\sqrt{3}x - 2 = 0$.

答案： 3.[解]
(1)x²−2x−35=0,方程变形,得x²−2x=35,
　配方,得x²−2x+1=36,即(x−1)²=36,
　开方,得x−1=6,或x−1=−6,
　解得x₁=7,x₂=−5.
(2)x²+2$\sqrt{3}$x−2=0,移项,得x²+2$\sqrt{3}$x=2,
　配方,得x²+2$\sqrt{3}$x+3=2+3,
∴(x+$\sqrt{3}$)²=5,解得x+$\sqrt{3}$=±$\sqrt{5}$,
∴x₁=−$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$,x₂=−$\sqrt{3}$−$\sqrt{5}$

4. 用公式法解下列方程.
(1)$5x^2 - 2x - 1 = 0$；
(2)$13y + 6 = -6y^2$.

答案： 4.[解]
(1)5x²−2x−1=0,
　这里a=5,b=−2,c=−1,
∵△=b²−4ac=(−2)²−4×5×(−1)=24＞0,
∴x=$\frac{−b±\sqrt{b²−4ac}}{2a}$=$\frac{2\pm\sqrt{24}}{2\times5}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{5}$
∴x₁=$\frac{1+\sqrt{6}}{5}$,x₂=$\frac{1−\sqrt{6}}{5}$.
(2)13y+6=−6y²,
　6y²+13y+6=0,
　这里a=6,b=13,c=6,
∵△=b²−4ac=13²−4×6×6=25＞0,
∴y=$\frac{−b±\sqrt{b²−4ac}}{2a}$=$\frac{−13±\sqrt{25}}{2×6}$=$\frac{−13±5}{12}$.
∴y₁=−$\frac{3}{2}$,y₂=−$\frac{2}{3}$.

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)$3x(2x + 1) = 2(2x + 1)$；
(2)$(x + 1)^2 - 3(x + 1) + 2 = 0$.

答案： 5.[解]
(1)3x(2x+1)=2(2x+1),
　原方程可化为(2x+1)(3x−2)=0，
　则2x+1=0,或3x−2=0.
∴x₁=−$\frac{1}{2}$,x₂=$\frac{2}{3}$.
(2)(x+1)²−3(x+1)+2=0,
　原方程可化为[(x+1)−2][(x+1)−1]=0,
　(x−1)x=0,
∴x₁=0,x₂=1.