《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 用配方法解方程$x^{2}+4x - 7 = 0$，下列变形正确的是（ ）
A. $(x + 2)^{2}=11$
B. $(x + 2)^{2}=-11$
C. $(x - 2)^{2}=7$
D. $(x + 2)^{2}=3$

答案： A

2. 用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（ ）
A. $x^{2}+4x = 5$
B. $x^{2}+2x = 5$
C. $x^{2}-2x = 5$
D. $2x^{2}-4x = 5$

答案： A

3. [2024·东营]用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x - 2023 = 0$时，将它转化为$(x + a)^{2}=b$的形式，则$a^{b}$的值为（ ）
A. -2024
B. 2024
C. -1
D. 1

答案： D

4. 一元二次方程$x^{2}-6x + a = 0$，配方后为$(x - 3)^{2}=1$，则$a =$_______.

答案： 8

5. 一元二次方程$x^{2}=4x$的解是（ ）
A. $x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2}$
B. $x_{1}=2,x_{2}=-2$
C. $x_{1}=x_{2}=4$
D. $x_{1}=0,x_{2}=4$

答案： D

6. 用配方法解下列方程.
(1)$x^{2}-4x - 1 = 7$； (2)$x^{2}-2x - 6 = 0$；
(3)$x^{2}+2\sqrt{3}x - 2 = 0$；(4)$-x^{2}+2x + 3 = 0$.

答案： 【解】
(1)$x^{2}-4x - 1 = 7$，
$x^{2}-4x = 8$，
$x^{2}-4x + 4 = 8 + 4$，
$(x - 2)^{2}=12$，
$x - 2=\pm2\sqrt{3}$，
解得$x_{1}=2 + 2\sqrt{3},x_{2}=2 - 2\sqrt{3}$.
(2)$x^{2}-2x - 6 = 0$，
$x^{2}-2x = 6$，
$x^{2}-2x + 1 = 6 + 1$，
$(x - 1)^{2}=7$，
$x - 1=\pm\sqrt{7}$，
解得$x_{1}=1+\sqrt{7},x_{2}=1-\sqrt{7}$.
(3)移项,得$x^{2}+2\sqrt{3}x = 2$，
配方,得$x^{2}+2\sqrt{3}x + 3 = 2 + 3$，
即$(x+\sqrt{3})^{2}=5$，
解得$x_{1}=-\sqrt{3}+\sqrt{5},x_{2}=-\sqrt{3}-\sqrt{5}$.
(4)原方程可化为$x^{2}-2x = 3$，
配方,得$x^{2}-2x + 1 = 3 + 1$，即$(x - 1)^{2}=4$，
两边直接开平方，得$x - 1=\pm2$，
即$x - 1 = 2$，或$x - 1 = -2$，
解得$x_{1}=3,x_{2}=-1$.

7. 用配方法解一元二次方程时，小马得到了方程$(x - 1)^{2}=m$的一个根为$x_{1}=5$，则另一个根$x_{2}=$（ ）
A. -5
B. -4
C. -3
D. -2

答案： C

8. [2024·东营模拟]若$\vert x^{2}-4x + 4\vert$与$\sqrt{2x - y - 3}$互为相反数，则$x + y =$（ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 9

答案： A【点拨】根据相反数的定义得$\vert x^{2}-4x + 4\vert+\sqrt{2x - y - 3}=0$，根据非负数的性质得$x^{2}-4x + 4 = 0$，$2x - y - 3 = 0$，解得$x = 2$，$y = 1$.$\therefore x + y = 3$.故选A.

9. 已知方程$x^{2}-6x + q = 0$可以配方成$(x - p)^{2}=7$的形式，则$x^{2}-6x + q = 2$可以配方成（ ）
A. $(x - p)^{2}=5$
B. $(x - p)^{2}=9$
C. $(x - p + 2)^{2}=9$
D. $(x - p + 2)^{2}=5$

答案： B【点拨】$\because$方程$x^{2}-6x + q = 0$可以配方成$(x - p)^{2}=7$的形式，$\therefore x^{2}-2px + p^{2}=7$.$\therefore x^{2}-2px + p^{2}-7 = 0$.$\therefore -2p = -6$，$q = p^{2}-7$.$\therefore p = 3$，$q = 2$.$\therefore$代入$x^{2}-6x + q = 2$.$\therefore x^{2}-6x = 0$.$\therefore x^{2}-6x + 9 = 9$.$\therefore (x - 3)^{2}=9$.$\therefore (x - p)^{2}=9$.故选B.

10. [2024·青岛市南区月考]已知$x^{2}-kxy + 64y^{2}$可以配方成完全平方，则$k$的值是（ ）
A. 16
B. $\pm16$
C. $\pm8$
D. 8

答案： B【点拨】$\because x^{2}-kxy + 64y^{2}$可以配方成完全平方，$\therefore 64y^{2}=(\pm8y)^{2}$.$\therefore$原式可化成$(x\pm8y)^{2}$，即$x^{2}\pm16xy + 64y^{2}$.$\therefore -kxy=\pm16xy$.$\therefore k = \pm16$.

11. 如果方程$x^{2}+4x + n = 0$可以配方成$(x + m)^{2}=3$，那么$(n - m)^{2025}=$_______.

答案： -1

12. 阅读并回答问题：$x^{2}=-1$在实数范围内无解，如果存在一个数i，使$i^{2}=-1$，那么当$x^{2}=-1$时，有$x=\pm i$，从而$x=\pm i$是方程$x^{2}=-1$的两个根. 据此可知：i可以运算，例如：$i^{3}=i^{2}\cdot i=-1\cdot i=-i$，则方程$x^{2}-2x + 2 = 0$的两根分别为____________.（结果用i表示）

答案： $x_{1}=1 + i$，$x_{2}=1 - i$.【点拨】方程整理，得$x^{2}-2x = -2$，配方，得$x^{2}-2x + 1 = -1$，即$(x - 1)^{2}= -1$，两边开平方，得$x - 1=\pm i$，解得$x_{1}=1 + i$，$x_{2}=1 - i$.

13. 新考法 数形结合法 如图，在用配方法解一元二次方程$x^{2}+6x = 40$时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是$(x + 6)$、宽是$x$、面积是40的矩形割补成一个正方形，则$m$的值是_______.

答案： 3