《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. 已知方程$2x^{2}+bx + c = 0$的两根为2和 -2，因式分解$2x^{2}+bx + c=$________.

答案： $2(x + 2)(x - 2)$

12. 新视角 新定义题 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为$a*b=a(a - b)$，根据这个规则，方程$(x + 2)*5 = 0$的根为________.

答案： $x_{1}=-2,x_{2}=3$

13. [2024·滨州期末]如图，已知$A$，$B$，$C$是数轴上异于原点$O$的三个点，且$O$为$AB$的中点，$B$为$AC$的中点. 若点$B$对应的数是$x$，点$C$对应的数是$x^{2}-3x$，则$x=$________.

答案： 6　　[点拨]
∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA = OB.
∵点B对应的数是x，
∴点A对应的数是 -x.
∵B是AC的中点，
∴AB = BC.
∴$(x^{2}-3x)-x=x-(-x)$，解得$x_{1}=0,x_{2}=6$.
∵点B异于原点O，
∴$x\neq0$.
∴$x = 6$.

14. 解下列方程.
(1)$2(x + 2)(x - 3)=(x - 3)^{2}$；
(2)$2x(x - 1)=-(x - 6)$.

答案： [解]
(1)$2(x + 2)(x - 3)=(x - 3)^{2}$，
原方程可化为$2(x + 2)(x - 3)-(x - 3)^{2}=0$，
$(x - 3)[2(x + 2)-(x - 3)]=0$，
整理，得$(x - 3)(x + 7)=0$，
$x - 3 = 0$，或$x + 7 = 0$.
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-7$.
(2)$2x(x - 1)=-(x - 6)$，
原方程可化为$2x^{2}-2x=-x + 6$，
$2x^{2}-x - 6 = 0$，
$(2x + 3)(x - 2)=0$，
$2x + 3 = 0$，或$x - 2 = 0$.
$\therefore x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=2$.

15. 新趋势 过程性学习 阅读下面的例题：
解方程$x^{2}-|x|-2 = 0$.
解：当$x\geq0$时，原方程可化为$x^{2}-x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=2,x_{2}=-1$（不合题意，舍去）；
当$x＜0$时，原方程可化为$x^{2}+x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$（不合题意，舍去），$x_{2}=-2$.
∴原方程的根是$x_{1}=2,x_{2}=-2$.
参照例题解方程：$x^{2}-|x - 1|-1 = 0$.

答案： [解]当$x - 1\geq0$，$x\geq1$时，原方程可化为$x^{2}-x = 0$，即$x(x - 1)=0$，
解得$x_{1}=0$(不符合题意，舍去)，$x_{2}=1$；
当$x - 1\lt0$，$x\lt1$时，原方程可化为$x^{2}+x - 2 = 0$，
即$(x - 1)(x + 2)=0$，
解得$x_{1}=1$(不符合题意，舍去)，$x_{2}=-2$.
$\therefore$原方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-2$.

16. [2024·烟台期中]阅读下面解方程的过程：
解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0$.
设$x^{2}-1=y$，则原方程可化为$y^{2}-5y + 4 = 0$①，解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.
当$y = 1$时，$x^{2}-1=1$，解得$x=\pm\sqrt{2}$；当$y = 4$时，$x^{2}-1=4$，解得$x=\pm\sqrt{5}$.
故原方程的根为$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{5},x_{4}=-\sqrt{5}$.
由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想.
解答下列问题：
(1)利用换元法解方程：$(x^{2}+x)^{2}+2(x^{2}+x)-8 = 0$；
(2)$Rt\triangle ABC$的三边分别是$a$，$b$，$c$，若两直角边$a$，$b$满足$(a + b)(a + b - 7)+10 = 0$，斜边$c = 4$，求$Rt\triangle ABC$的面积.

答案： [解]
(1)设$x^{2}+x = a$，则方程$(x^{2}+x)^{2}+2(x^{2}+x)-8 = 0$可化为$a^{2}+2a - 8 = 0$，
解得$a_{1}=2,a_{2}=-4$.
当$a_{1}=2$时，$x^{2}+x = 2$，即$x^{2}+x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=-2,x_{2}=1$；
当$a_{2}=-4$时，$x^{2}+x = -4$，即$x^{2}+x + 4 = 0$，
$\because\Delta=1 - 16=-15\lt0$，
∴该方程无解；
综上所述，原方程的根是$x_{1}=-2,x_{2}=1$.
(2)设$a + b = x$，则$(a + b)(a + b - 7)+10 = 0$可化为$x(x - 7)+10 = 0$，
即$x^{2}-7x + 10 = 0$，解得$x_{1}=2,x_{2}=5$.
∵$a,b,c$是$Rt\triangle ABC$的三边，且斜边$c = 4$
∴$a + b\gt c = 4$，
∴$a + b = 5$.
由勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}=4^{2}$.
∴$(a + b)^{2}-2ab = 16$.
∴$ab=\frac{(a + b)^{2}-16}{2}=\frac{5^{2}-16}{2}=\frac{9}{2}$.
∴$Rt\triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}ab=\frac{9}{4}$.