《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 下列说法不正确的是 （ ）
A. 矩形是平行四边形
B. 矩形不一定是平行四边形
C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 平行四边形具有的性质矩形都具有

答案： B

2. [2024·聊城阶段练习]在平行四边形ABCD中，AB = 5，BC = 12，当平行四边形ABCD的面积最大时，下列结论正确的有 （ ）
①AC = 13；②∠A + ∠C = 180°；
③AC⊥BD；④AC = BD.
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①③④

答案： B

3. [2024·南通]如图，直线a//b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2 = 41°，则∠1的度数为 （ ）
A. 41° B. 51° C. 49° D. 59°
　　

答案： C

4. [2024·济南一模]如图，矩形ABCD中，AB = 4，AD = 6. 在边AD上取一点E，使BE = BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________.
　　

答案： $\sqrt{20}$ [点拨]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,∠A=90°,
∴∠AEB=∠FBC.
∵CF⊥BE,
∴∠CFB=90°,∠A=∠CFB,
∴∠CFB = ∠A.在△ABE和△FCB中，$\begin{cases}∠A = ∠CFB,\\∠AEB = ∠FBC,\\BE = CB,\end{cases}$
∴△ABE≌△FCB，
∴FC = AB = 4.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC = AD = 6.在Rt△FCB中，由勾股定理得BF = $\sqrt{BC^{2}-FC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}$.

5. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC = 10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为 （ ）
A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 2.25
　　

答案： C

6. [2024·泰安高新区期末 母题·教材P28复习题16]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE = BD，连接AE，若∠E = 20°，则∠ADB =________.
　　

答案： 40°

7. 如图，△ABC中，AB = AC = 10，BC = 8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 （ ）
A. 20 B. 12 C. 14 D. 13
　　　

答案： C　 [点拨]
∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴AD⊥BC,CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4.又
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$AC=5,
∴△CDE的周长=CD + DE + CE=4+5+5=14.

8. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB = 8，AD = DE = 10，则BF的长为________.
　　　

答案： $\frac{\sqrt{80}}{2}$ [点拨]
∵四边形ABCD是矩形,AB=8,AD=DE=10,
∴∠ABC=∠C=90°,CD=AB=8,BC=AD=10,
∴CE = $\sqrt{DE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$，
∴BE = BC - CE = 10 - 6 = 4，
∴AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}$.
∵点F是AE的中点，
∴BF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{80}=\frac{\sqrt{80}}{2}$.

9. [情境题 生活应用]如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为 （ ）
A. 27° B. 53° C. 57° D. 63°
　　　

答案：
D　 [点拨]如图.
∵AE//BF,
∴∠EAB=∠ABF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,∠ABC=90°,

∴∠ABF+27°=90°,
∴∠ABF=63°,
∴∠EAB=63°.
∵AB//CD,
∴∠AED=∠EAB=63°.

10. [2024滨州模拟]如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG. 若AB = 4，CE = 10，则AG = （ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
　　　

答案： C　 [点拨]
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°.
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$CE=5.
由题易得,BG=BF=5.
在Rt△ABG中,AB=4,BG=5,
由勾股定理,得AG = $\sqrt{BG^{2}-AB^{2}} = 3$.