《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6. 已知$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$，求$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值.

答案： 【解】
∵$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$,
∴$\frac{x + x^{2}+1}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-1=(\sqrt{5})^{2}-1 = 4$.
∴$\frac{x^{2}}{x + x^{2}+1}=\frac{1}{4}$.

7. 已知$x:y:z = 1:2:3(x\gt0,y\gt0,z\gt0)$，求$\frac{\sqrt{x + y}}{\sqrt{x + z}+\sqrt{x + 2y}}$的值.

答案： 【解】设$x = k(k\gt0)$,则$y = 2k$, $z = 3k$,
∴原式$=\frac{\sqrt{3k}}{2+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3k}(2 - \sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}=\frac{2\sqrt{3k}-\sqrt{15k}}{4 - 5}=\sqrt{15k}-2\sqrt{3k}$（此处原答案“$2\sqrt{3}$”可能有误，按前面步骤推导应是$\sqrt{15k}-2\sqrt{3k}$ ）

8. 已知$a + 1=2024^2+2025^2$，求$\sqrt{2a + 1}$的值.

答案： 【解】设$x = 2024$,则$x + 1 = 2025$,
∴$a + 1 = x^{2}+(x + 1)^{2}=x^{2}+x^{2}+2x + 1 = 2x^{2}+2x + 1$.
∴$a = 2x^{2}+2x$.
∴$\sqrt{2a + 1}=\sqrt{2(2x^{2}+2x)+1}=\sqrt{4x^{2}+4x + 1}=2x + 1 = 4049$.

9. 求$\frac{n + 2+\sqrt{n^2-4}}{n + 2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n + 2-\sqrt{n^2-4}}{n + 2+\sqrt{n^2-4}}$的值，其中$n=\sqrt{2}+1$.

答案： 【解】设$x = n + 2+\sqrt{n^{2}-4}$, $y = n + 2-\sqrt{n^{2}-4}$,则$x + y = 2n + 4$, $xy = 4n + 8$.
∴原式$=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{(x + y)^{2}}{xy}-2=\frac{(2n + 4)^{2}}{4n + 8}-2=n$.
当$n=\sqrt{2}+1$时，原式$=\sqrt{2}+1$.