《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. [2024·淄博张店区期末]如图，在四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF. 若AC = 6，BD = 4，则EF长的最小值为________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
$\sqrt{5}$ [点拨]连接BE，DE，如图所示.
∵∠ABC=∠ADC=90°,E是对角线AC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC,DE=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=6,
∴BE=DE=3.
过点E作EF'⊥BD于点F',易知EF'的长即为EF长的最小值，则点F'是线段BD的中点.
∵BD=4,
∴BF'=2.
在Rt△BEF'中,根据勾股定理,得EF' = $\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$，
∴线段EF长的最小值为$\sqrt{5}$.

12. [新考法 分类讨论法]在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN = AB = 1. 当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
2或1+$\sqrt{2}$ [点拨]当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况:
如图①,当∠MND=90°时
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°,
∴MN//AB.

∵M为对角线BD的中点，
∴AD=2AN,
∵AN=AB=1,
∴AD=2AN=2;
如图②,当∠NMD=90°,
即MN⊥BD时，连接BN.
∵M为对角线BD的中点，

∴BM=DM,
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°,AB=AN=1,
∴DN=BN=$\sqrt{2}$,
∴AD=AN+DN=1+$\sqrt{2}$.
综上所述，AD的长为2或1+$\sqrt{2}$.

13. 如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：AF = CE.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： [证明]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB//CD,
∴∠BAE=∠DCF.
又
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE与△CDF中，$\begin{cases}∠AEB = ∠CFD,\\∠BAE = ∠DCF,\\AB = CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF，
∴AE = CF，
∴AE + EF = CF + EF，即AF = CE.

14. [2024·潍坊]如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上. 将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上，连接GE，FH.
(1)求证：△AEH≌△CFG；
(2)求证：四边形EGFH为平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)[证明]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,∠B=∠D=90°,AB//CD,
∴∠EAH=∠FCG.
由折叠可得,AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°,∠AGF=∠D=90°,
∴CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°,
∴AH=CG.
在△AEH和△CFG中，$\begin{cases}∠EAH = ∠FCG,\\AH = CG,\\∠AHE = ∠CGF,\end{cases}$
∴△AEH≌△CFG(ASA).
(2)[证明]由
(1)知∠AHE=∠CGF=90°,△AEH≌△CFG,
∴EH//FG,EH=FG,
∴四边形EGFH为平行四边形.

15. [核心素养 推理能力]如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH//BC分别交AF，CD于G，H两点.
(1)求证：AB = DE；
(2)请判断AF，BF的位置关系，并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)[证明]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠DCE=∠BEC.
∵EC平分∠DEB,
∴∠DEC=∠BEC,
∴∠DCE=∠DEC,
∴CD=DE,
∴AB=DE.
(2)[解]AF⊥BF.理由:
如图，连接DF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°.
∵F为CE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$CE=CF=EF,

∴∠FBA=∠BEC;
∵AB//CD,
∴∠DCE=∠BEC,
∴∠DCF=∠FBA.
在△DCF和△ABF中，$\begin{cases}CD = BA,\\∠DCF = ∠ABF,\\CF = BF,\end{cases}$
∴△DCF≌△ABF(SAS)，
∴∠DFC = ∠AFB.
∵CD = DE，F为CE的中点，
∴DF⊥CE，
∴∠DFC = 90°，
∴∠AFB = 90°，即AF⊥BF.