《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A. $\frac{1}{x}$
B. $2x + 1$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt[3]{6}$

答案： C

2. [2024·烟台福山区期中] 下列二次根式中：$\sqrt{10x}$，$\sqrt{x^{2}-2x + 1}$，$\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，$\sqrt{\frac{x - y}{x}}$，$\sqrt{144x}$，属于最简二次根式的个数为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

3. 与$-\sqrt{5}$是同类二次根式的是 （ ）
A. $\sqrt{10}$
B. $\sqrt{15}$
C. $\sqrt{20}$
D. $\sqrt{25}$

答案： C

4. [2024·潍坊一模] 使$\frac{\sqrt{3x + 7}}{x + 2}$有意义的$x$的取值范围是 （ ）
A. $x\geqslant-\frac{7}{3}$且$x\neq - 2$
B. $x\geqslant-\frac{7}{3}$
C. $x\leqslant-\frac{7}{3}$
D. $x\geqslant - 2$

答案： A

5. 下面计算正确的是 （ ）
A. $-(\sqrt{7})^{2}=-7$
B. $\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
C. $\sqrt{24}=4\sqrt{6}$
D. $-(-\sqrt{\frac{9}{16}})=\frac{9}{16}$

答案： A

6. 化简$|5 - x|+(\sqrt{3 - x})^{2}$的结果为________.

答案： 8 - 2x

7. $x^{2}-3$在有理数范围内不能进行因式分解，但$3 = (\sqrt{3})^{2}$，故$x^{2}-3 = x^{2}-(\sqrt{3})^{2}=(x - \sqrt{3})\cdot(x + \sqrt{3})$，这就把$x^{2}-3$在实数范围内进行了因式分解. 按照这个思路，$2a^{2}-14$在实数范围内因式分解的结果是__________.

答案： 2(a - $\sqrt{7}$)(a + $\sqrt{7}$)

8. 已知三角形的三边长分别为3，5，$k$，则化简$|9 - k|+\sqrt{(1 - k)^{2}}=$ （ ）
A. 8
B. - 8
C. $2k - 10$
D. $10 - 2k$

答案： A

9. [2024·枣庄月考] 实数$a$在数轴上对应的点的位置如图所示，则$\sqrt{(a - 4)^{2}}-\sqrt{(a - 11)^{2}}$化简后为 （ ）


A. 7
B. - 7
C. $15 - 2a$
D. $2a - 15$

答案： D【点拨】由数轴可知5 ＜ a ＜ 10，
∴a - 4 ＞ 0,a - 11 ＜ 0.
∴$\sqrt{(a - 4)^2}-\sqrt{(a - 11)^2}=a - 4-(11 - a)=a - 4 - 11 + a = 2a - 15$.

10. 甲、乙两名同学做一道相同的题目.
化简求值：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+a^{2}-2}$，其中$a = \frac{1}{5}$.
甲同学的解法：原式$=\frac{1}{a}+\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^{2}}=\frac{1}{a}+|\frac{1}{a}-a|=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a = 10-\frac{1}{5}=\frac{49}{5}$.
乙同学的解法：原式$=\frac{1}{a}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}=\frac{1}{a}+|a-\frac{1}{a}|=\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}=a=\frac{1}{5}$.
请问哪名同学的解法正确？请说明理由.

答案： 【解】甲同学的解法正确.理由如下：
$\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2 - 2}=\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^2}=|\frac{1}{a}-a|$.
∵a = $\frac{1}{5}$,
∴$\frac{1}{a}=5$,
∴$\frac{1}{a}＞a$.
∴$\frac{1}{a}-a＞0$.
∴$|\frac{1}{a}-a|=\frac{1}{a}-a$.乙同学在去绝对值符号时忽略了$\frac{1}{a}$与 a 的大小关系,导致错误.