《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

6. [2024·阜阳阶段练习 新考法·阅读类比法]阅读理解：用“十字相乘法”因式分解$2x^2 - x - 3$.
第一步：二次项系数2可以写成$1×2$，常数项 -3可以写成$-1×3$或$1×(-3)$；
第二步：如下图，画“×”号，将1,2写在“×”号左边，将 -1,3或1, -3写在“×”号的右边，共有四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：
①的系数为$1×3 + 2×(-1) = 1$；②的系数为$1×(-3) + 2×1 = -1$；
③的系数为$1×1 + 2×(-3) = -5$；④的系数为$1×(-1) + 2×3 = 5$.
显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有$2x^2 - x - 3 = (x + 1)(2x - 3)$.
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫做十字相乘法.
仿照以上方法解下列方程.
(1)$x^2 - 2x - 3 = 0$；
(2)$2x^2 + x - 3 = 0$；
(3)$3x^2 + 5x - 12 = 0$.

答案： 6.[解]
(1)x²−2x−3=0,
∴(x−3)(x+1)=0,
∴x−3=0,或x+1=0,
　解得x₁=3,x₂=−1.
(2)2x²+x−3=0,
∴(2x+3)(x−1)=0,
∴2x+3=0,或x−1=0,
　解得x₁=−$\frac{3}{2}$,x₂=1.
(3)3x²+5x−12=0,
∴(x+3)(3x−4)=0,
∴x+3=0,或3x−4=0,
解得x₁=−3,x₂=$\frac{4}{3}$.

7. [新考法 阅读类比法]【阅读材料】解方程$(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 4 = 0$时，我们发现：先将$x - 1$看作一个整体，然后设$x - 1 = y$①，则原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$，解得$y_1 = 1$，$y_2 = 4$. 当$y = 1$时，$x - 1 = 1$，则$x = 2$；当$y = 4$时，$x - 1 = 4$，则$x = 5$，故原方程的根为$x_1 = 2$，$x_2 = 5$.
上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，运用了“换元法”达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想.
【解决问题】
(1)请利用以上知识解方程：$(3x + 5)^2 - 4(3x + 5) + 3 = 0$；
(2)在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，且$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + 1) = 12$，求斜边c的长.

答案： 7.[解]
(1)设3x+5=a,则原方程可化为a²−4a+3=0，解得a₁=1,a₂=3.
　当a=1时,3x+5=1,解得x=−$\frac{4}{3}$;
　当a=3时,3x+5=3,解得x=−$\frac{2}{3}$.
∴原方程的根为x₁=−$\frac{4}{3}$,x₂=−$\frac{2}{3}$.
(2)设a²+b²=x(x＞0),
　则(a²+b²)(a²+b²+1)=12可化为x(x+1)=12,
　即x²+x−12=0,解得x₁=3,x₂=−4＜0(不合题意，舍去)，
∴a²+b²=3.
∵∠C=90°,
∴a²+b²=c².
∴c²=3.
∴c=$\sqrt{3}$