《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

14. [2024·聊城期末]若$\sqrt{12}$与$\sqrt{3}a$的积为 - 1，则$a$的值是________.

答案： $-\frac{1}{6}$

15. 母题 教材P48复习题T6 已知直角三角形的两条直角边长为$\sqrt{6}$，$\sqrt{3}$，则这个直角三角形斜边上的高为________.

答案： $\sqrt{2}$

16. 计算：
（1）$-\sqrt{3} \times 2\sqrt{2\frac{1}{3}} \div \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{2}}$；
（2）$\frac{3}{2}\sqrt{20} \times (-\frac{1}{3}\sqrt{48}) \div \sqrt{2\frac{2}{3}}$；
（3）$\frac{\sqrt{3a}}{2b} \cdot \sqrt{\frac{b}{2a}} \div 2\sqrt{\frac{1}{3b}}$.

答案： 【解】
(1)原式$=-\sqrt{3}×2\sqrt{\frac{7}{3}}÷\frac{\sqrt{10}}{8}$$=-\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{21}}{3}×\frac{4\sqrt{10}}{5}$$=-\frac{8\sqrt{70}}{5}$.
(2)原式$=-\frac{3}{2}×2\sqrt{5}×\frac{1}{3}×4\sqrt{3}÷\sqrt{\frac{8}{3}}$$=-\frac{3}{2}×2×\frac{1}{3}×4×\sqrt{5×3×\frac{3}{8}}$$=-3\sqrt{10}$.
(3)原式$=\frac{\sqrt{3a}}{2b}\cdot\frac{\sqrt{2ab}}{2a}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{3b}$$=\frac{\sqrt{3a\cdot2ab\cdot3b}}{8ab}$$=\frac{3}{8}\sqrt{2}$.

17. 母题 教材P44习题T3 已知长方形的长$a = \frac{1}{2}\sqrt{48}$，宽$b = \frac{1}{3}\sqrt{27}$.
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长的大小.

答案： 【解】
(1)长方形的周长为$2×(\frac{1}{2}\sqrt{48}+\frac{1}{3}\sqrt{27})=2×(2\sqrt{3}+\sqrt{3})=6\sqrt{3}$.
(2)长方形的面积为$\frac{1}{2}\sqrt{48}×\frac{1}{3}\sqrt{27}=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6$，则等面积的正方形的边长为$\sqrt{6}$，$\therefore$此正方形的周长为$4\sqrt{6}$. $\because6\sqrt{3}=\sqrt{108},4\sqrt{6}=\sqrt{96}$，且$\sqrt{108}＞\sqrt{96}$，$\therefore6\sqrt{3}＞4\sqrt{6}$，$\therefore$长方形的周长大于正方形的周长.

18. [2024·菏泽阶段练习]阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$；$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$；$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$.
（1）直接写出化简结果：
①$\frac{1}{\sqrt{2}} =$________，②$\sqrt{\frac{3}{5}} =$________；
（2）请选择适当的方法化简：$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$；
（3）化简：$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}$.

答案： 【解】
(1)①$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ②$\frac{\sqrt{15}}{5}$
(2)$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{5 - 3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(3)$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n - 1}}$$=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\cdots+\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n - 1})$$=\frac{\sqrt{2n + 1}-1}{2}$.