《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

1. 某公园预备建造一个菱形郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线的长分别为6 m和10 m，则菱形花坛的面积为（ ）
A. 15 m²
B. 24 m²
C. 30 m²
D. 60 m²

答案： C

2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点F，AD=10，BD=16，则平行线CD与BA之间的距离为（ ）
A. 2.4 B. 4.8 C. 6 D. 9.6
　　 　　　

答案： D [点拨]设CD与BA之间的距离为x.
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点F，
∴$AF = \frac{1}{2}AC$，$DF = \frac{1}{2}BD = 8$，$AC\perp BD$.
∵$AD = 10$，
∴$AF = \sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$.
∴$AC = 12$.
∵$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\times12\times16 = 96$，
∴$x = \frac{96}{10} = 9.6$. 故选D.

3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连接EF. 若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A. 10
B. 12
C. 16
D. 18

答案：
C [点拨]如图，设AE，BF交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\angle DAE=\angle AEB$.
∵$\angle BAD$的平分线交BC于点E，
∴$\angle DAE=\angle BAE$，

∴$\angle BAE=\angle BEA$，
∴$AB = BE$. 同理可得$AB = AF$，
∴$AF = BE$，
∴四边形ABEF是平行四边形.
又
∵$AB = AF$，
∴四边形ABEF是菱形，
∴$AE\perp BF$，$OA = OE$，$OB = OF=\frac{1}{2}BF = 6$.
又
∵$AB = 10$，
∴$OA = \sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$，
∴$AE = 2OA = 16$. 故选C.

4. 如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（ ）
A. EF=DO
B. EF⊥AO
C. 四边形EOFA是菱形
D. 四边形EBOF是菱形
　　 　　　　

答案： D

5. [2024·广西 母题教材P8做一做] 如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm.

答案：
$8\sqrt{3}$ [点拨]如图，过点A作$AE\perp BC$于点E，$AF\perp CD$于点F，
∴$\angle AEB=\angle AFD = 90^{\circ}$.
易知四边形ABCD为平行四边形，
∴$\angle ADF=\angle ABE = 60^{\circ}$.
∵两张纸条宽度均为3 cm，
∴$AE = AF = 3$ cm，
∴$\triangle ADF\cong\triangle ABE$，
∴$AD = AB$，

∴四边形ABCD为菱形.
在$Rt\triangle ADF$中，$\angle ADF = 60^{\circ}$，
∴$\angle FAD = 30^{\circ}$.
∴$AD = 2DF$.
∴易得$AD = 2\sqrt{3}$ cm，
∴菱形ABCD的周长为$2\sqrt{3}\times4 = 8\sqrt{3}$ cm.

6. [2024·烟台十中月考] 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
①S△ADE=S△EOD；
②四边形BFDE是菱形；
③菱形ABCD的面积为EF·BD；
④∠FDO=∠EDO；
⑤△DEF是轴对称图形.
其中正确的结论是__________．（填序号）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： ①②③④⑤

7. [2024·泰安泰山区一模] 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
(2)若∠C=90°，BC=16，CD=8，求四边形BNDM的周长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： （1）[证明]
∵$AD// BC$，
∴$\angle DMO=\angle BNO$.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴$OB = OD$，$MN\perp BD$，
∴$\angle MOD=\angle NOB$.
∴$\triangle MOD\cong\triangle NOB$，
∴$OM = ON$.
又
∵$OB = OD$，
∴四边形BNDM是平行四边形.
∵$MN\perp BD$，
∴平行四边形BNDM是菱形.
（2）[解]
∵四边形BNDM是菱形，
∴$BN = DN$.
设$BN = DN = x$，则$CN = BC - BN = 16 - x$.
在$Rt\triangle CDN$中，由勾股定理，得$CD^{2}+CN^{2}=DN^{2}$，
即$8^{2}+(16 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x = 10$，即$BN = 10$，
∴菱形BNDM的周长$ = 4BN = 40$.