《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

9. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax + 2\sqrt{3}y = -10\sqrt{3},\\x + y = 4\end{cases}$与$\begin{cases}x - y = 2,\\x + by = 15\end{cases}$的根相同.
(1)求$a,b$的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为$2\sqrt{6}$，另外两条边的长是关于$x$的方程$x^2 + ax + b = 0$的根. 试判断该三角形的形状，并说明理由.

答案： 【解】
(1)由题意得，关于$x$，$y$的方程组的相同根，就是方程组$\begin{cases}x - y = 4\\x + y = 2\end{cases}$的根，解得$\begin{cases}x = 3\\y = -1\end{cases}$，代入原方程组，得$a = -4\sqrt{3}$，$b = 12$.
(2)该三角形是等腰直角三角形.理由如下:
当$a = -4\sqrt{3}$，$b = 12$时，关于$x$的方程$x^{2}+ax + b = 0$就变为$x^{2}-4\sqrt{3}x + 12 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=2\sqrt{3}$.
又$\because(2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=(2\sqrt{6})^{2}$，
$\therefore$以$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{6}$为边的三角形是等腰直角三角形.

10. 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”《论语·第十二章·为政篇》列方程解决下面的问题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

答案： 【解】设周瑜逝世的年龄的个位数字为$x$，则十位数字为$x - 3$，
根据题意，得$10(x - 3)+x = x^{2}$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=6$，
当$x_{1}=5$时，周瑜的年龄是$25$岁，
$\because 25$岁非而立之年，$\therefore$不符合题意，舍去；
当$x_{2}=6$时，周瑜的年龄是$36$岁，符合题意.
$\therefore$周瑜的年龄是$36$岁.

11. 新视角 动点探究题 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6\ cm$，$BC = 12\ cm$，点$P$从点$A$沿边$AB$向点$B$以$1\ cm/s$的速度运动；同时，点$Q$从点$B$沿边$BC$向点$C$以$2\ cm/s$的速度运动，有一点到达终点时则运动停止. 问几秒后$\triangle PDQ$的面积等于$28\ cm^2$?

答案： 【解】设$t s$后$\triangle PDQ$的面积等于$28cm^{2}$，
由题意，得$S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ADP}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle CDQ}=12\times6-\frac{1}{2}\times12t-\frac{1}{2}(6 - t)\times2t-\frac{1}{2}\times6\times(12 - 2t)=28$，
解得$t_{1}=2$，$t_{2}=4$，
经检验，$t = 2$，$t = 4$均符合题意，
$\therefore 2s$或$4s$后$\triangle PDQ$的面积等于$28cm^{2}$.