《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

9. [2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩形的是（ ）
A. ∠A=90°
B. ∠B=∠C
C. AC=BD
D. AC⊥BD

答案： D

10. 母题 教材P26习题T3 如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH成为矩形的是（ ）
A. AB=CD
B. AC=BD
C. AC⊥BD
D. AD//BC
　　　　　　　　　　　　　　

答案： C

11. [2024·济南历下区期末]如图，直角三角形ABC的面积为4，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形DECF的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
　 　　

答案： B

12. 新视角 动点探究题 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10 cm，BC=8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动. 设点P的运动时间为t s，下列结论正确的是（ ）
A. 当t=4时，四边形ABMP为矩形
B. 当t=5时，四边形CDPM为平行四边形
C. 当CD=PM时，t=4
D. 当CD=PM时，t=4或6

答案：
D 【点拨】根据题意，可得DP = BM = t cm.
∵AD = 10 cm，BC = 8 cm，
∴AP=(10 - t)cm，CM=(8 - t)cm.
当四边形ABMP为矩形时，AP = BM，
即10 - t = t，解得t = 5，故A选项不符合题意；
当四边形CDPM为平行四边形时，DP = CM，
即t = 8 - t，解得t = 4，故B选项不符合题意；
当CD = PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM = PD，即8 - t = t，解得t = 4；
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，则∠MGP = ∠CHD = 90°.
易知CM = GH=(8 - t)cm，BM = AG，GM = HC.
∵PM = CD，GM = HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD(HL)，
∴GP = HD，
∴AG = AP + GP = 10 - t + $\frac{t-(8 - t)}{2}$ = 6 cm.
又
∵BM = t cm，
∴t = 6.
综上，当CD = PM时，t = 4或6，
故C选项不符合题意，D选项符合题意.

13. [2024·临沂模拟]如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG，DE，FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【证明】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EAB = ∠CFE.
∵E为BC边的中点，
∴EC = EB.
在△ABE和△FCE中，$\begin{cases}\angle EAB=\angle EFC,\\\angle BEA=\angle CEF,\\EB = EC,\end{cases}$
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)
∵△ABE≌△FCE，
∴AB = CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = DC，
∴DC = CF.
又
∵CE = CG，
∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为BC的中点，CE = CG，
∴BC = EG.
又
∵AD = BC = EG = 2AB，DF = CD + CF = 2CD = 2AB，
∴DF = EG，
∴平行四边形DEFG是矩形.

14. 2024·十堰模拟 核心素养·推理能力 如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
(1)求证：BE=DF；
(2)设\frac{AC}{BD}=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO = OD，AO = OC.
∵E，F分别为AO，OC的中点，
∴EO = $\frac{1}{2}$OA，OF = $\frac{1}{2}$OC，
∴EO = FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE = DF.
(2)【解】当k = 2时，四边形DEBF是矩形. 理由如下：
∵AE = OE，OF = CF，
∴$\frac{AC}{EF}$ = 2.
∵$\frac{AC}{BD}$ = 2，
∴BD = EF.
∴平行四边形DEBF为矩形.
故当k = 2时，四边形DEBF是矩形.