《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

9. 新考法 数形结合法 如图，在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下列结论错误的是 （ ）
A. AD//BC
B. DC=AB
C. 四边形ABCD是菱形
D. 将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合
　

答案： C 【点拨】A.由图形易知AD//BC,故本选项正确;
B.设小正方形的边长是1,由勾股定理,得DC = $\sqrt{3² + 7²}$=$\sqrt{58}$,AB = $\sqrt{3² + 7²}$=$\sqrt{58}$,
∴AB = CD,故本选项正确;
C.由图形可知AD//BC,CD//AB,
∴四边形ABCD是平行四边形,但BC = $\sqrt{2² + 7²}$=$\sqrt{53}$≠AB,
∴四边形ABCD不是菱形,故本选项错误;
D.将边AD向右平移3格,再向上平移7格就与边BC重合,故本选项正确.故选C.

10. [2024·烟台一中月考]如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE = $\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，其中正确的是 （ ）
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②③④
　

答案： D 【点拨】
∵点E为BC的中点,
∴BC = 2BE = 2CE.
又
∵BC = 2AB,
∴AB = BE.
∵∠ABC = 60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠BAE = ∠BEA = 60°,AE = BE = CE,
∴∠EAC = ∠ECA = $\frac{1}{2}$∠BEA = 30°,
∴∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = 90°,
∴AB⊥AC,故①正确;
在平行四边形ABCD中,AD//BC,AO = CO,
∴∠CAD = ∠ACB.
在△AOF和△COE中,{∠OAF = ∠OCE,OA = OC,∠AOF = ∠COE,
∴△AOF≌△COE,
∴AF = CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵AE = CE,
∴平行四边形AECF是菱形,故③正确;
∵平行四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC = AD.
在Rt△COE中,∠ACE = 30°,
∴OE = $\frac{1}{2}$CE = $\frac{1}{4}$BC = $\frac{1}{4}$AD,
∴AD = 4OE,故②正确;
由上可知OA = OC.
又
∵点E为BC的中点,
∴S△BOE = $\frac{1}{2}$S△BOC = $\frac{1}{4}$S△ABC,故④正确.
综上所述,正确的是①②③④.故选:D.

11. [2024·连云港]如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC//BD.
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
　　　　　　　　　

答案：

(1)【证明】
∵AC//BD,
∴∠A = ∠B,∠C = ∠D.
在△AEC和△BED中,{∠A = ∠B,∠C = ∠D,EC = ED,
∴△AEC≌△BED.
(2)【解】如图所示,菱形DMCN即为所求.

12. 核心素养 推理能力 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(t＞0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)【证明】根据题意可知
DC = 2t,AE = t.
在Rt△DFC中,∠C = 30°,DC = 2t,
∴DF = t.
又
∵AE = t,
∴AE = DF.
∵∠B = 90°,
∴AB⊥BC.
又
∵DF⊥BC,
∴AE//DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)【解】能.理由如下:
由
(1)知,四边形AEFD为平行四边形.
∵∠C = 30°,∠B = 90°,AB = 5,
∴AC = 2AB = 10,
∴AD = AC - DC = 10 - 2t.
若使▱AEFD为菱形,则需AE = AD,
即t = 10 - 2t,解得t = $\frac{10}{3}$.
∴当t = $\frac{10}{3}$时,四边形AEFD为菱形.