《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[跟踪训练1] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 经过点$A(0,2)$,$B(\frac{1}{2},\sqrt{3})$；
(2) 过点$(-3,2)且与椭圆\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$有相同焦点。
(1)$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$；(2)$\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{10}=1$

答案：
(1)
设椭圆的标准方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(m ＞ 0,n ＞ 0,m\neq n)$。
因为椭圆经过点$A(0,2)$，$B(\frac{1}{2},\sqrt{3})$，将点代入方程可得：
$\begin{cases}4n = 1\\frac{1}{4}m + 3n = 1\end{cases}$
由$4n = 1$得$n=\frac{1}{4}$，
把$n = \frac{1}{4}$代入$\frac{1}{4}m+3n = 1$，得$\frac{1}{4}m+\frac{3}{4}=1$，
$\frac{1}{4}m=\frac{1}{4}$，解得$m = 1$。
所以椭圆的标准方程为$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$。
(2)
由已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$，根据$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，可得$c=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$，则所求椭圆的焦点为$(\pm\sqrt{5},0)$。
设所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，则$\begin{cases}a^{2}-b^{2}=5\\frac{(-3)^{2}}{a^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$
由$a^{2}-b^{2}=5$得$a^{2}=b^{2}+5$，代入$\frac{9}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}=1$中，
$\frac{9}{b^{2}+5}+\frac{4}{b^{2}}=1$，
$9b^{2}+4(b^{2}+5)=b^{2}(b^{2}+5)$，
$9b^{2}+4b^{2}+20=b^{4}+5b^{2}$，
$b^{4}-8b^{2}-20=0$，
$(b^{2}-10)(b^{2}+2)=0$，
因为$b^{2}＞0$，所以$b^{2}=10$，则$a^{2}=b^{2}+5 = 15$。
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{10}=1$。
综上，
(1)椭圆标准方程为$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$；
(2)椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{10}=1$。

[例2](2025·南京期中)若方程$\frac{x^{2}}{7 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1表示焦点在y$轴上的椭圆,则实数$m$的取值范围是((4,7))
A.$(-\infty,1)$
B.$(1,4)$
C.$(4,7)$
D.$(7,+\infty)$

答案： C [母题探究1]解析:因为方程$\frac{x²}{7-m}+\frac{y²}{m-1}=1$表示焦点在x轴上的椭圆,所以{7-m＞m-1,m-1＞0,解得1＜m＜4,即m∈(1,4). 答案:(1,4) [母题探究2]解析:因为方程\frac{x²}{7-m}+\frac{y²}{m-1}=1表示椭圆,所以{7-m＞0,m-1＞0,7-m≠m-1,解得1＜m＜7且m≠4,即m∈(1,4)∪(4,7). 答案:(1,4)∪(4,7)

[例3] (1) 已知椭圆$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1上一点P到左焦点的距离为6$,则$P$到右焦点的距离为(C)
A.$5$
B.$6$
C.$4$
D.$12$

答案： C

(2) 设$P为椭圆\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$上的任意一点,$F_{1}$,$F_{2}$为其上、下焦点,则$\vert PF_{1}\vert\cdot\vert PF_{2}\vert$的最大值为9。

答案： 9