《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

如图,直线l的单位方向向量为$\mathbf{u}$,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设$\overrightarrow{AP} = \mathbf{a}$,则向量$\overrightarrow{AP}$在直线l上的投影向量$\overrightarrow{AQ} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}$.在$Rt \triangle APQ$中,由勾股定理,得点P到直线l的距离为$PQ = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2} - |\overrightarrow{AQ}|^{2}} = $$\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}-(\overrightarrow{a}\cdot\boldsymbol{u})^{2}}$.

答案： $\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}-(\overrightarrow{a}\cdot\boldsymbol{u})^{2}}$

1.已知过坐标原点O的直线l的方向向量$\mathbf{u} = (1,1,1)$,则点$P(1,2,3)$到直线l的距离是 (D)
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}$

答案： D

2.已知空间向量$\overrightarrow{AB} = (-1,1,0)$,$\overrightarrow{AC} = (1,1,1)$,则B点到直线AC的距离为$\sqrt{2}$；A点到直线BC的距离为$\frac{\sqrt{30}}{5}$.

答案： $\sqrt{2}$　$\frac{\sqrt{30}}{5}$

3.已知三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的侧棱垂直于底面,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC = AA_{1} = 2$,E是棱$C_{1}C$的中点.则点$A_{1}到直线B_{1}E$的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

答案： $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

二 点到平面的距离
思考1 点到平面的距离是如何定义的？
思考2 如图,过点P作PQ⊥平面$\alpha$,垂足为Q,平面$\alpha$内的点A异于点Q,则$PQ = \sqrt{PA^{2} - AQ^{2}}与平面\alpha$内的点A的位置有关吗？

答案： 1. **点到平面距离的定义**：
从平面外一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离叫做该点到这个平面的距离。
2. **判断$PQ=\sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$与平面$\alpha$内点$A$的位置关系**：
解：
因为$PQ\perp$平面$\alpha$，$AQ\subset$平面$\alpha$，根据线面垂直的性质可知$PQ\perp AQ$。
在$Rt\triangle PAQ$中，由勾股定理$PA^{2}=PQ^{2}+AQ^{2}$，移项可得$PQ = \sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$。
由于$PA$是点$P$到平面$\alpha$内点$A$的距离（$PA$的长度是固定的，由点$P$和点$A$的位置决定），$PQ$是点$P$到平面$\alpha$的距离（是一个定值，只与点$P$和平面$\alpha$有关）。
当点$A$在平面$\alpha$内运动时，$AQ$的长度会发生变化，但根据勾股定理的变形公式$PQ=\sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$，$PQ$的值是固定不变的（因为$P$到平面$\alpha$的距离$PQ$是确定的）。所以$PQ=\sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$与平面$\alpha$内点$A$的位置无关。
综上，点到平面距离的定义为从平面外一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离叫做该点到这个平面的距离；$PQ=\sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$与平面$\alpha$内点$A$的位置无关。

如图,已知平面$\alpha的法向量为\mathbf{n}$,A是平面$\alpha$内的定点,P是平面$\alpha$外一点.过点P作平面$\alpha$的垂线l,交平面$\alpha$于点Q,则$\mathbf{n}$是直线l的方向向量,且点P到平面$\alpha的距离就是\overrightarrow{AP}$在直线l上的投影向量$\overrightarrow{QP}$的长度.因此$PQ = $$\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$.

答案： $\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$

[例1](对接教材例6)如图,在棱长为2的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,E,F,G分别是AB,BC,$C_{1}D_{1}$的中点.求：

(1)点$B_{1}$到平面EFG的距离；$\sqrt{3}$
(2)点A到平面EFG的距离.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
(1)$\sqrt{3}$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{3}$