《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(对接教材例 2)如图,在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,底面 $ABCD$ 为正方形,$AB = AA_1 = 4$,$\angle BAA_1 = \angle DAA_1 = \frac{\pi}{3}$,$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{EC_1}$。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$。
(1) 用 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{AE}$；$\overrightarrow{AE}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
(2) 求 $AE$ 的长度。$2\sqrt{13}$

答案： （1）$\overrightarrow{AE}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$ （2）$2\sqrt{13}$

如图,在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,点 $P$ 满足 $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DD_1}$,则 $\cos \langle \overrightarrow{AP}, \overrightarrow{D_1B} \rangle = $$-\frac{2\sqrt{30}}{15}$$$。

母题探究
在本例中,异面直线 $AP$ 与 $D_1B$ 所成的角 $\alpha$ 的余弦值为 $\frac{2\sqrt{30}}{15}$$$。

答案： $-\frac{2\sqrt{30}}{15}$ $\frac{2\sqrt{30}}{15}$

(对接教材例 3)如图,$OB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线,$O$ 为斜足,$AB \perp \alpha$,$A$ 为垂足,$CD \subset \alpha$,且 $CD \perp OA$。求证：$CD \perp OB$。
证明：因为CD⊥OA，所以$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OA}=0$，因为$AB\perp \alpha$，$CD\subset \alpha$，所以AB⊥CD，$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.又$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CD}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，故CD⊥OB.

答案： 证明：因为CD⊥OA，所以$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OA}=0$，因为$AB\perp \alpha$，$CD\subset \alpha$，所以AB⊥CD，$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.又$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CD}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，故CD⊥OB.