《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1) 已知椭圆 $ E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}= 1 $,点 $ A $,$ B $ 在椭圆上且在 $ x $ 轴异侧,$ F_{1} $,$ F_{2} $ 分别为椭圆 $ E $ 的左、右焦点,则四边形 $ A F_{1} B F_{2} $ 的周长为(8)
A.$ 8 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $
D.$ 4+2 \sqrt{3} $

答案：
(1)解析:选A.由题及椭圆的定义得,|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=4,故四边形AF₁BF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=8.

(2) 已知点 $ P $ 是椭圆 $ C: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}= 1 $ 上一点,点 $ F_{1} $,$ F_{2} $ 分别是椭圆 $ C $ 的左、右焦点,且 $ \overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}= 4 $,则 $ \triangle P F_{1} F_{2} $ 的面积为2√3。

答案：
(2)解析:由题可知F₁(-√3,0),F₂(√3,0),记|PF₁|=r₁,|PF₂|=r₂,∠F₁PF₂=θ,因为$\overrightarrow{PF₁}$·$\overrightarrow{PF₂}$=4,所以r₁r₂cosθ=4,则cosθ=4/(r₁r₂),在△PF₁F₂中,由余弦定理的推论得cosθ=(r₁²+r₂²-12)/(2r₁r₂)=4/(r₁r₂),又r₁+r₂=6,解得r₁²+r₂²=20,r₁r₂=8,所以cosθ=1/2,sinθ=√3/2,所以S△PF₁F₂=1/2r₁r₂sinθ=2√3.
答案:2√3

[例 2](对接教材例 3)在平面直角坐标系中,已知点 $ A(1,1) $,$ B(-1,-1) $,点 $ P $ 为动点,且直线 $ A P $ 与 $ B P $ 的斜率之积为 $ -\frac{1}{2} $,求点 $ P $ 的轨迹方程。
【解】设P(x,y),因为A(1,1),B(-1,-1),所以kₐₚ=(y-1)/(x-1)(x≠1),kᵦₚ=(y+1)/(x+1)(x≠-1),由kₐₚ·kᵦₚ=-1/2,得(y-1)/(x-1)·(y+1)/(x+1)=-1/2(x≠±1),即x²+2y²=3(x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x²+2y²=3(x≠±1).

答案： 【解】设P(x,y),因为A(1,1),B(-1,-1),所以kₐₚ=(y-1)/(x-1)(x≠1),kᵦₚ=(y+1)/(x+1)(x≠-1),由kₐₚ·kᵦₚ=-1/2,得(y-1)/(x-1)·(y+1)/(x+1)=-1/2(x≠±1),即x²+2y²=3(x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x²+2y²=3(x≠±1).

[例 3](对接教材例 2)已知椭圆 $ C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}= 1 $,从 $ C $ 上任意一点 $ P $ 向 $ y $ 轴作垂线段 $ P P^{\prime} $,$ P^{\prime} $ 为垂足,则线段 $ P P^{\prime} $ 的中点 $ M $ 的轨迹方程为(C)
A.$ \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{4}= 1(x \neq 0) $
B.$ \frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{8}= 1(x \neq 0) $
C.$ x^{2}+y^{2}= 4(x \neq 0) $
D.$ x^{2}+y^{2}= 8(x \neq 0) $

答案： 【解析】设点M(x,y),根据中点的坐标公式可得P(2x,y),代入椭圆方程(2x)²/16+y²/4=1得x²+y²=4,其中x≠0.
【答案】C

[例 4] 已知动圆 $ M $ 经过定点 $ F_{1}(-\sqrt{3}, 0) $,且与圆 $ F_{2}:(x-\sqrt{3})^{2}+y^{2}= 16 $ 内切。求动圆圆心 $ M $ 的轨迹 $ C $ 的方程。
【解】设动圆M的半径为r,由题意得圆F₂的圆心为F₂(√3,0),半径R=4.因为动圆M与圆F₂内切且F₁在圆F₂内,所以|MF₁|=r,|MF₂|=R-r,则|MF₁|+|MF₂|=4＞2√3=|F₁F₂|.所以动点M的轨迹C是以F₁,F₂为焦点的椭圆,且2a=4.所以c=√3,a=2,b²=a²-c²=1,因此轨迹C的方程为x²/4+y²=1.

答案： 【解】设动圆M的半径为r,由题意得圆F₂的圆心为F₂(√3,0),半径R=4.因为动圆M与圆F₂内切且F₁在圆F₂内,所以|MF₁|=r,|MF₂|=R-r,则|MF₁|+|MF₂|=4＞2√3=|F₁F₂|.所以动点M的轨迹C是以F₁,F₂为焦点的椭圆,且2a=4.所以c=√3,a=2,b²=a²-c²=1,因此轨迹C的方程为x²/4+y²=1.