《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

例 1
(对接教材例 4)已知平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点分别为 $A(2,1)$,$B(3,2)$,$C(-6,5)$. 求：
(1)直线 $AB$ 的方程；
(2)直线 $BD$ 的方程.
【解】
(1)过点$A(2,1),B(3,2)$的直线的两点式方程为$\frac {y-1}{2-1}=\frac {x-2}{3-2}$,整理得$x-y-1=0.$
(2)因为$A(2,1),C(-6,5)$,由中点坐标公式可得线段 AC 的中点 M 的坐标为$(-2,3)$,由平行四边形的性质可知,点 M 也是线段 BD 的中点,所以直线 BD 的方程即为直线 BM 的方程,过点$B(3,2),M(-2,3)$的直线的两点式方程为$\frac {y-2}{3-2}=\frac {x-3}{-2-3}$,整理得$x+5y-13=0.$

答案： 【解】
(1)过点$A(2,1),B(3,2)$的直线的两点式方程为$\frac {y-1}{2-1}=\frac {x-2}{3-2}$,整理得$x-y-1=0.$
(2)因为$A(2,1),C(-6,5)$,由中点坐标公式可得线段 AC 的中点 M 的坐标为$(-2,3)$,由平行四边形的性质可知,点 M 也是线段 BD 的中点,所以直线 BD 的方程即为直线 BM 的方程,过点$B(3,2),M(-2,3)$的直线的两点式方程为$\frac {y-2}{3-2}=\frac {x-3}{-2-3}$,整理得$x+5y-13=0.$

(1)(2025·邢台期中)已知直线 $l$ 的两点式方程为 $\frac{y - 9}{5 - 9}= \frac{x - 8}{2 - 8}$,则(C)
A.直线 $l$ 经过点 $(5,2)$
B.直线 $l$ 的斜截式为 $x= \frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$
C.直线 $l$ 的倾斜角为锐角
D.直线 $l$ 的点斜式为 $y - 2= \frac{2}{3}(x - 5)$

答案： 解析:选 C.由题意,直线 l 不经过点$(5,2)$,故 A,D 错误;将两点式化为斜截式:$y=\frac {2}{3}x+\frac {11}{3}$,故 B 错误;直线 l 的斜率为$\frac {2}{3}＞0$,所以直线 l 的倾斜角为锐角,故 C 正确.

(2)已知点 $A(m,5)$,$B(3,n)$. 若 $AB$ 的中点坐标为 $(2,1)$,则直线 $AB$ 的方程为$4x+y-9=0$.

答案： 解析:由题可得$\left\{\begin{array}{l} \frac {m+3}{2}=2,\\ \frac {5+n}{2}=1,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=-3,\end{array}\right. $即$A(1,5),B(3,-3).$由两点式方程可得$\frac {y-5}{-3-5}=\frac {x-1}{3-1}$,即$4x+y-9=0.$答案:$4x+y-9=0$

二 直线的截距式方程
思考
若给定直线上两点 $A(a,0)$,$B(0,b)$($a\neq 0$,$b\neq 0$),你能否得出直线的方程呢？
提示:由两点式方程可得$\frac {y-0}{b-0}=\frac {x-a}{0-a}$,即$\frac {x}{a}+\frac {y}{b}=1.$

答案： 提示:由两点式方程可得$\frac {y-0}{b-0}=\frac {x-a}{0-a}$,即$\frac {x}{a}+\frac {y}{b}=1.$

答案： 根据题目要求，直接给出解答：
设直线$l$与$x$轴交于点$A(a,0)$，与$y$轴交于点$B(0,b)$，其中$a \neq 0$，$b \neq 0$，
由直线的两点式方程，可以写出：
$\frac{y - 0}{x - a} = \frac{b - 0}{0 - a}$
化简得：
$\frac{y}{x - a} = -\frac{b}{a}$
进一步整理，得到：
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
适用范围：斜率存在且不为零，不过原点的直线。

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)能用截距式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.(√)
(2)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.(√)
(3)已知直线在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距,只能用截距式求直线方程.(×)
(4)任何直线都可以用 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}= 1$ 表示.(×)

答案：
(1)√
(2)√
(3)×
(4)×

2. (2025·郑州期中)过点 $(2,1)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线 $l$ 的方程是(C)
A.$x + y - 3 = 0$
B.$x - 2y = 0$
C.$x + y - 3 = 0$ 或 $x - 2y = 0$
D.$x + y - 3 = 0$ 或 $x - y - 1 = 0$

答案： 解析:选 C.当直线 l 过原点时,其方程是$x-2y=0$,符合题意;当直线 l 不过原点时,设直线 l 的方程为$\frac {x}{a}+\frac {y}{a}=1$$(a≠0)$,将$(2,1)$代入,可得$\frac {2}{a}+\frac {1}{a}=1$,解得$a=3$,所以直线 l 的方程是$x+y-3=0.$

3. 过点 $(\frac{1}{3},1)$ 作直线 $l$,则满足在两坐标轴上截距之积为 $2$ 的直线 $l$ 的条数为(B)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 解析:选 B.由题设直线 l 的方程为$\frac {x}{a}+\frac {ay}{2}=1(a≠0)$,将点$(\frac {1}{3},1)$代入,可得$\frac {1}{3a}+\frac {a}{2}=1(a≠0)$,即$3a^{2}-6a+2=0$,由于$△=36-4×3×2=12＞0$,所以方程$3a^{2}-6a+2=0$有两个不相等的实根,且$a=0$时不满足,故满足题意的直线 l 的条数为 2.

4. 已知直线 $l$ 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距分别为 $4$,$9$,若点 $E(1,b)$ 在直线 $l$ 上,则 $b=$$\frac {27}{4}$.

答案： 解析:由题得直线的截距式方程为$\frac {x}{4}+\frac {y}{9}=1$.因为点$E(1,b)$在直线 l 上,所以$\frac {1}{4}+\frac {b}{9}=1$,解得$b=\frac {27}{4}.$答案:$\frac {27}{4}$