《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1)已知点 $A(a,-3,5)$,$B(0,b,2)$,$C(2,7,-1)$,若 $A$,$B$,$C$ 三点共线,则 $a + b = $ (C)
A.$-1$
B.$-2$
C.$0$
D.$1$

答案： C

(2)如图,在正四棱台 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$AB = 2A_1B_1$,$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{DF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{A_1G} = \frac{1}{4}\overrightarrow{A_1A}$.直线 $AC_1$ 与平面 $EFG$ 交于点 $M$,则 $\frac{AM}{AC_1} = $$\frac{6}{23}$.

答案： $\frac{6}{23}$

[例 2]
已知空间三点 $A(-4,0,4)$,$B(-2,2,4)$,$C(-3,2,3)$.设 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB}$,$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{BC}$.
1. 求 $|\boldsymbol{a}|$,$|\boldsymbol{b}|$；
2. 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角；
3. 若向量 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $k\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$ 互相垂直,求实数 $k$ 的值.
1. $|\boldsymbol{a}|$=$2\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}|$=$\sqrt{2}$；
2. $\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$；
3. 实数$k$的值为$k=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}$

答案： 1. $|\boldsymbol{a}|=2\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$；2. $\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$；3. 实数$k$的值为$k=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}$

已知向量 $\boldsymbol{a} = (m,2\sqrt{3},6)(m \in \mathbf{R})$,$\boldsymbol{b} = (1,0,2)$,$\boldsymbol{c} = (1,\sqrt{3},2)$.求：
1. $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})$ 的值；
2. $\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$；
3. $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 的最小值.
1. $-6$
2. $\frac{\sqrt{10}}{4}$
3. $2\sqrt{7}$

答案： 1. $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$的值为$-6$；2. $\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle=\frac{\sqrt{10}}{4}$；3. $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$的最小值为$2\sqrt{7}$