《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例1](2025·宿州期中)如图甲,在边长为4的等边三角形 $ABC$ 中,$CD$ 是 $AB$ 边上的高,$E$,$F$ 分别是边 $AC$ 和 $BC$ 的中点,现将 $\triangle ACD$ 沿 $CD$ 翻折使得平面 $ACD \perp$ 平面 $BCD$,如图乙。
(1)求证：$AB //$ 平面 $DEF$；
(2)若 $M$ 为线段 $AB$ 上一点,求点 $M$ 到平面 $DEF$ 的距离。

答案：
[解]　
(1)证明:在$\triangle ABC$中，E，F分别是边AC和BC的中点，所以$EF// AB$，因为$AB\not\subset$平面DEF，$EF\subset$平面DEF，所以$AB//$平面DEF。
(2)由
(1)知，$AB//$平面DEF，所以点M到平面DEF的距离即为点A到平面DEF的距离。因为平面$ACD⊥$平面BCD，平面$ACD\cap$平面$BCD = CD$，$AD\subset$平面ACD，$AD⊥CD$，所以$AD⊥$平面BCD，又$CD⊥BD$，可得AD，BD，CD两两垂直。以D为原点，$\overrightarrow {DB}$，$\overrightarrow {DC}$，$\overrightarrow {DA}$的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
　　　
则$D(0,0,0),A(0,0,2),E(0,\sqrt{3},1),F(1,\sqrt{3},0)$，所以$\overrightarrow {DF}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow {EF}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow {DA}=(0,0,2)$。
设平面DEF的法向量为$n=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow {DF}\cdot n = 0\\\overrightarrow {EF}\cdot n = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x+\sqrt{3}y = 0\\x - z = 0\end{cases}$，
令$x = \sqrt{3}$，则$n = (\sqrt{3},-1,\sqrt{3})$。
所以点A到平面DEF的距离为$\frac{|\overrightarrow {DA}\cdot n|}{|n|}=\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$。
所以点M到平面DEF的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$。

如图1,在边长为4的菱形 $ABCD$ 中,$M$,$N$ 分别是边 $BC$,$CD$ 的中点,$\angle ADC = 120^{\circ}$,如图2,将菱形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起。
(1)证明：$AC \perp MN$；
(2)当点 $D$ 折叠到使二面角 $D - AC - B$ 为直二面角时,求点 $D$ 到直线 $AM$ 的距离。

答案：
解:
(1)证明:如图，取AC的中点O，连接OB，OD。
根据折叠可得$AB = BC$，$AD = DC$，所以$OB⊥AC$，$OD⊥AC$，
又$OB\cap OD = O$，$OB,OD\subset$平面OBD，所以$AC⊥$平面OBD，又$BD\subset$平面OBD，所以$AC⊥BD$，又M，N分别是BC，CD的中点，所以$MN// BD$，所以$AC⊥MN$。
　　　　　　　　　
(2)因为二面角D - AC - B为直二面角，所以平面$ABC⊥$平面ACD，又因为平面$ABC\cap$平面$ACD = AC$，$OD⊥AC$，$OD\subset$平面ACD，所以$OD⊥$平面ABC，又$OB\subset$平面ABC，所以$OB⊥OD$，结合
(1)知OA，OB，OD两两垂直，故以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则$A(2\sqrt{3},0,0),D(0,0,2),M(-\sqrt{3},1,0)$，所以$\overrightarrow {AD}=(-2\sqrt{3},0,2)$，$\overrightarrow {AM}=(-3\sqrt{3},1,0)$，
　　　　
则$\overrightarrow {AM}$方向上的单位向量为$\frac{\overrightarrow {AM}}{|\overrightarrow {AM}|}=\frac{1}{\sqrt{28}}(-3\sqrt{3},1,0)=(-\frac{3\sqrt{21}}{14},\frac{\sqrt{7}}{14},0)$，因此点D到直线AM的距离为$\sqrt{|\overrightarrow {AD}|^{2}-(\overrightarrow {AD}\cdot \frac{\overrightarrow {AM}}{|\overrightarrow {AM}|})^{2}}=\sqrt{16 - (\frac{9\sqrt{7}}{7})^{2}}=\frac{\sqrt{217}}{7}$。