《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[练习]
在移动通信中,总是有很多用户希望能够共享一个发射媒介,进行无线通信,这种通信方式称为多址通信。多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交,这些用户就可以共享一个发射媒介。在$n$维空间中,正交的定义是两个$n维向量\boldsymbol{a}= (x_{1},x_{2},…,x_{n})$,$\boldsymbol{b}= (y_{1},y_{2},…,y_{n})满足x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+…+x_{n}y_{n}= 0$。已知某通信方式中用户的信号是$4$维非平行向量,有四个用户共享一个发射媒介,已知前三个用户的信号向量为$(0,0,0,1)$,$(0,0,1,0)$,$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0,0)$。写出一个满足条件的第四个用户的信号向量$(1,1,0,0)$(答案不唯一)。

答案： $(1,1,0,0)$(答案不唯一)

1. (教材$P_{22}练习T_{1}$改编)已知向量$\boldsymbol{a}= (2,-3,1)$,$\boldsymbol{b}= (2,0,3)$,$\boldsymbol{c}= (0,0,2)$,则$\boldsymbol{a}\cdot(2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})= $(A)
A.$12$
B.$-12$
C.$9$
D.$-9$

答案： A

2. 已知向量$\boldsymbol{a}= (x,y,-1)$,$\boldsymbol{b}= (2,0,-2)$,若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,则$y - x= $(A)
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： A

3. 已知$A(2,1,3)$,$B(-4,2,x)$,$C(1,-x,2)$,若向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}与\overrightarrow{OB}$垂直($O$为坐标原点),则$x= $$\frac{10}{3}$。

答案： $\frac{10}{3}$

4. (教材$P_{23}$ $T_{8}$改编)如图,四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}是棱长为1$的正方体,若点$M为AB$的中点,$\overrightarrow{CN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{CC_{1}}$。

(1) 求$MN$的长；
(2) 求$DB_{1}与MN$所成角的余弦值。
(1)以D为原点，DA，DC，$DD_{1}$所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则$B_{1}(1,1,1),N(0,1,\frac{1}{3}),M(1,\frac{1}{2},0),\overrightarrow {MN}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$|\overrightarrow {MN}|=\sqrt{(-1)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{7}{6}$，故MN的长为$\frac{7}{6}.(2)$由(1)得$\overrightarrow {DB_{1}}=(1,1,1),\overrightarrow {MN}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$cos\langle \overrightarrow {DB_{1}},\overrightarrow {MN}\rangle=\frac{\overrightarrow {DB_{1}}\cdot \overrightarrow {MN}}{|\overrightarrow {DB_{1}}||\overrightarrow {MN}|}=-\frac{\sqrt{3}}{21}$，因为异面直线所成的角的取值范围为$(0,\frac{\pi}{2}]$，故$DB_{1}$与MN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{21}.$

答案：
(1)以D为原点，DA，DC，$DD_{1}$所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则$B_{1}(1,1,1),N(0,1,\frac{1}{3}),M(1,\frac{1}{2},0),\overrightarrow {MN}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$|\overrightarrow {MN}|=\sqrt{(-1)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{7}{6}$，故MN的长为$\frac{7}{6}.(2)$由
(1)得$\overrightarrow {DB_{1}}=(1,1,1),\overrightarrow {MN}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$cos\langle \overrightarrow {DB_{1}},\overrightarrow {MN}\rangle=\frac{\overrightarrow {DB_{1}}\cdot \overrightarrow {MN}}{|\overrightarrow {DB_{1}}||\overrightarrow {MN}|}=-\frac{\sqrt{3}}{21}$，因为异面直线所成的角的取值范围为$(0,\frac{\pi}{2}]$，故$DB_{1}$与MN所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{21}.$