《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例3] 已知圆 $C_1: x^2 + (y + 1)^2 = 4$ 和圆 $C_2: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$.
(1) 求证：圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交；
(2) 求圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
[解]　
(1)证明:根据题意，圆$C_{1}:x^{2}+(y + 1)^{2}=4$的圆心为$C_{1}(0,-1)$，半径$r_{1}=2$，圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-4x - 2y + 1 = 0$，得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，圆心为$C_{2}(2,1)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$l=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，因为$r_{1}-r_{2}\lt l\lt r_{1}+r_{2}$，所以圆$C_{1}$和圆$C_{2}$相交.
(2)将两圆方程相减，有$x + y - 1 = 0$，即两圆公共弦所在直线的方程为$x + y - 1 = 0$，圆心$C_{1}(0,-1)$到$x + y - 1 = 0$的距离$d=\frac{\vert0 - 1 - 1\vert}{\sqrt{1 + 1}}=\sqrt{2}$，故公共弦的长为$2×\sqrt{4 - 2}=2\sqrt{2}$.

答案： [解]　
(1)证明:根据题意，圆$C_{1}:x^{2}+(y + 1)^{2}=4$的圆心为$C_{1}(0,-1)$，半径$r_{1}=2$，圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-4x - 2y + 1 = 0$，得$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，圆心为$C_{2}(2,1)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$l=\sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，因为$r_{1}-r_{2}\lt l\lt r_{1}+r_{2}$，所以圆$C_{1}$和圆$C_{2}$相交.
(2)将两圆方程相减，有$x + y - 1 = 0$，即两圆公共弦所在直线的方程为$x + y - 1 = 0$，圆心$C_{1}(0,-1)$到$x + y - 1 = 0$的距离$d=\frac{\vert0 - 1 - 1\vert}{\sqrt{1 + 1}}=\sqrt{2}$，故公共弦的长为$2×\sqrt{4 - 2}=2\sqrt{2}$.

[跟踪训练3] 已知圆 $P: (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$,点 $Q(-2, -3)$,以 $PQ$ 为直径作圆 $M$,与圆 $P$ 相交于 $A$,$B$ 两点.
(1) 证明：$QA$ 与圆 $P$ 相切；
(2) 求直线 $AB$ 的方程.

答案：
解:
(1)证明:因为$PQ$为圆$M$的直径，所以$\angle PAQ$为直径$PQ$所对的圆周角，所以$\angle PAQ = 90^{\circ}$，所以$PA\perp QA$，所以直线$QA$与圆$P$相切.
　　　　
(2)由题意可知，点$P$的坐标为$(2,3)$，则$\vert PQ\vert=\sqrt{(2 + 2)^{2}+(3 + 3)^{2}}=2\sqrt{13}$，$PQ$的中点$M$坐标为$(0,0)$，所以圆$M$的半径$r=\frac{\vert PQ\vert}{2}=\sqrt{13}$，所以圆$M$的方程为$x^{2}+y^{2}=13$，联立$\begin{cases}(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=9\\x^{2}+y^{2}=13\end{cases}$，两式相减可得$4x + 6y - 17 = 0$，因为圆$M$与圆$P$相交于$A$，$B$两点，所以直线$AB$的方程为$4x + 6y - 17 = 0$.

[典例] 圆心在直线 $x - y - 4 = 0$ 上,且经过圆 $x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0$ 的交点的圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y + 1)^{2}=16$(或$x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6 = 0$).

答案： $(x - 3)^{2}+(y + 1)^{2}=16$(或$x^{2}+y^{2}-6x + 2y - 6 = 0$)