《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1)(2025·日照期末)已知曲线$C$：$\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{a - 1} = 1$,则“$a ＞ 0$”是“曲线$C$是椭圆”的(C)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C

(2) 设$F_{1}$,$F_{2}是椭圆\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$的两个焦点,$P$是椭圆上一点,且点$P到两个焦点的距离之差为1$,则$\triangle PF_{1}F_{2}$是直角三角形(填三角形形状)。

答案： 直角

1.(教材$P_{109}T_{1}$改编)设$P是椭圆\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$上的动点,则$P$到该椭圆的两个焦点的距离之和为(B)
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： B

2. (多选)平面上,动点$M$满足以下条件,其中$M$的轨迹为椭圆的是(BD)
A.$M到两定点(0,2)$,$(0,-2)的距离之和为4$
B.$M到两定点(0,2)$,$(0,-2)的距离之和为6$
C.$M到两定点(3,0)$,$(-3,0)的距离之和为6$
D.$M到两定点(3,0)$,$(-3,0)的距离之和为8$

答案： BD

3. 设方程$\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1$表示椭圆,则实数$k$的取值范围是$(4,\frac{13}{2})∪(\frac{13}{2},9)$。

答案： $(4,\frac{13}{2})∪(\frac{13}{2},9)$

4.(教材$P_{109}T_{2}$改编)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点分别是$F_{1}(-3,0)$,$F_{2}(3,0)$,椭圆上的点$P与两焦点的距离之和等于8$；
(2) 两个焦点分别是$F_{1}(0,-4)$,$F_{2}(0,4)$,并且椭圆经过点$(\sqrt{3},-\sqrt{5})$。
(1)由已知得2a=8,则a=4.又因为c=3,所以b²=a²-c²=4²-3²=7,易知椭圆的焦点在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x²}{16}+\frac{y²}{7}=1. (2)$因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为$\frac{y²}{a²}+\frac{x²}{b²}=1(a＞b＞0).$由已知得c=4,又因为c²=a²-b²,所以a²=b²+16.因为点(√3,-√5)在椭圆上,代入得$\frac{(-√5)²}{a²}+\frac{(√3)²}{b²}=1,$即$\frac{5}{a²}+\frac{3}{b²}=1.$从而有$\frac{5}{b²+16}+\frac{3}{b²}=1,$解得b²=4或b²=-12(舍去).因此a²=4+16=20,从而所求椭圆的标准方程为$\frac{y²}{20}+\frac{x²}{4}=1.$

答案：
(1)由已知得2a=8,则a=4.又因为c=3,所以b²=a²-c²=4²-3²=7,易知椭圆的焦点在x轴上,所以所求椭圆的标准方程为$\frac{x²}{16}+\frac{y²}{7}=1. (2)$因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为$\frac{y²}{a²}+\frac{x²}{b²}=1(a＞b＞0).$由已知得c=4,又因为c²=a²-b²,所以a²=b²+16.因为点(√3,-√5)在椭圆上,代入得$\frac{(-√5)²}{a²}+\frac{(√3)²}{b²}=1,$即$\frac{5}{a²}+\frac{3}{b²}=1.$从而有$\frac{5}{b²+16}+\frac{3}{b²}=1,$解得b²=4或b²=-12(舍去).因此a²=4+16=20,从而所求椭圆的标准方程为$\frac{y²}{20}+\frac{x²}{4}=1.$