《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

母题探究 1 本例中,若点 $ A(3,3) $ 到直线 $ l:y = kx + 1 $ 的距离为 $ 3 $,则实数 $ k $ 的值为 $$$-\frac {5}{12}$$$。

答案： $-\frac {5}{12}$

母题探究 2 本例中,若点 $ B(5,-1) $ 到直线 $ l:y = kx + 1 $ 的距离不超过 $ 2 $,则实数 $ k $ 的取值范围是 $$$[-\frac {20}{21},0]$$$。

答案： $[-\frac {20}{21},0]$

例 2(1)已知点 $ (x_0,y_0) $ 为直线 $ x + 2y + 6 = 0 $ 上任意一点,则 $ \sqrt{(x_0 + 1)^2 + y_0^2} $ 的最小值是(C)
A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{5} $
D.$ \sqrt{6} $

答案： C

(2)点 $ P(1,-1) $ 到直线 $ l:mx - m + y - 1 = 0 $ 的距离的最大值为 $$2$$。

答案： 2

跟踪训练(1)已知点 $ P $ 为两条直线 $ 2x - 3y + 1 = 0 $ 和 $ x + y - 2 = 0 $ 的交点,则点 $ P $ 到直线 $ l:kx - y + k + 2 = 0 $ 的距离的最大值为 (B)
A.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ \frac{6\sqrt{5}}{5} $
D.$ 5 $

答案： B

(2) 已知点 $ A(2,3) $ 到直线 $ l_1:kx - y + 2 = 0 $ 和直线 $ l_2:x + ky + 1 = 0 $ 的距离相等,则 $ k = $−4或$-\frac {2}{5}$

答案： −4或$-\frac {2}{5}$

1. 点 $ P(-1,1) $ 到直线 $ l:y = -\frac{3}{4}x $ 的距离为(A)
A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{4}{5} $
C.$ \frac{7}{5} $
D.$ 1 $

答案： A

2.(多选)已知点 $ A(0,3) $ 及直线 $ l:x + y - 1 = 0 $ 上一点 $ B $,则 $ |AB| $ 的值可能是 (BCD)
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： BCD

3. 已知 $ A(-2,0) $,$ B(4,a) $ 两点到直线 $ l:x - y + 1 = 0 $ 的距离相等,则 $ a = $4或6。

答案： 4或6

4.(教材 $ P_{79}T_{11} $ 改编)在直线 $ l:y = x $ 上求一点 $ P $,使得以 $ A(1,3) $,$ B(2,5) $ 和 $ P $ 为顶点的三角形的面积为 $ 2 $。
解:易知直线AB的方程为$y-3=\frac {5-3}{2-1}(x-1)$,化简得$2x-y+1=0,|AB|=\sqrt {(2-1)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt {5}.$由题意设点$P(m,m)$,则点P到直线AB的距离$d=\frac {|2m-m+1|}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac {|m+1|}{\sqrt {5}},$故$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}\cdot |AB|\cdot d=2$,解得$m=-5$或$m=3$,则$P(-5,-5)$或$P(3,3).$

答案： 解:易知直线AB的方程为$y-3=\frac {5-3}{2-1}(x-1)$,化简得$2x-y+1=0,|AB|=\sqrt {(2-1)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt {5}.$由题意设点$P(m,m)$,则点P到直线AB的距离$d=\frac {|2m-m+1|}{\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac {|m+1|}{\sqrt {5}},$故$S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}\cdot |AB|\cdot d=2$,解得$m=-5$或$m=3$,则$P(-5,-5)$或$P(3,3).$