《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例3]
设椭圆$C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$,$F_{2}$,$P是C$上的点,$PF_{2}\perp F_{1}F_{2}$,$\angle PF_{1}F_{2}= 30^{\circ}$,则$C$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。
母题探究1
若将本例中“$PF_{2}\perp F_{1}F_{2}$,$\angle PF_{1}F_{2}= 30^{\circ}$”改为“$\angle PF_{2}F_{1}= 75^{\circ}$,$\angle PF_{1}F_{2}= 45^{\circ}$”,求$C$的离心率。
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
母题探究2
若将本例中“$PF_{2}\perp F_{1}F_{2}$,$\angle PF_{1}F_{2}= 30^{\circ}$”改为“$\angle F_{1}PF_{2}$为钝角”,求$C$的离心率的取值范围。
$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： [解析]　方法一:由题意可设$|PF_{2}|=m$,结合条件可知$|PF_{1}|=2m,|F_{1}F_{2}|=\sqrt {3}m$,故离心率$e=\frac {c}{a}=\frac {2c}{2a}=\frac {|F_{1}F_{2}|}{|PF_{1}|+|PF_{2}|}=\frac {\sqrt {3}m}{2m+m}=\frac {\sqrt {3}}{3}.$
方法二:由$PF_{2}⊥F_{1}F_{2}$可知P点的横坐标为c,将$x=c$代入椭圆方程，解得$y=\pm \frac {b^{2}}{a}$,所以$|PF_{2}|=\frac {b^{2}}{a}$.又由$∠PF_{1}F_{2}=30^{\circ }$可得$|F_{1}F_{2}|=\sqrt {3}|PF_{2}|$,故$2c=\sqrt {3}\cdot \frac {b^{2}}{a}$，变形可得$\sqrt {3}(a^{2}-c^{2})=2ac$,等式两边同除以$a^{2}$,得$\sqrt {3}(1-e^{2})=2e$,解得$e=\frac {\sqrt {3}}{3}$或$e=-\sqrt {3}$(舍去).
[答案]　$\frac {\sqrt {3}}{3}$
[母题探究1]解:在$\triangle PF_{1}F_{2}$中，因为$∠PF_{1}F_{2}=45^{\circ },∠PF_{2}F_{1}=75^{\circ }$,所以$∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ }$,设$|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,|F_{1}F_{2}|=2c,m+n=2a$,则在$\triangle PF_{1}F_{2}$中,有$\frac {m}{sin75^{\circ }}=\frac {n}{sin45^{\circ }}=\frac {2c}{sin60^{\circ }}$,所以$\frac {m+n}{sin75^{\circ }+sin45^{\circ }}=\frac {2c}{sin60^{\circ }}$,所以$e=\frac {c}{a}=\frac {2c}{2a}=\frac {sin60^{\circ }}{sin75^{\circ }+sin45^{\circ }}=\frac {\sqrt {6}-\sqrt {2}}{2}.$
[母题探究2]解:由题意知以$F_{1}F_{2}$为直径的圆与椭圆有四个交点，故$c＞b$，所以$c^{2}＞b^{2}$.又$b^{2}=a^{2}-c^{2}$,所以$c^{2}＞a^{2}-c^{2}$,即$2c^{2}＞a^{2}$.所以$e^{2}=\frac {c^{2}}{a^{2}}＞\frac {1}{2}$，又$0＜e＜1$,所以$\frac {\sqrt {2}}{2}＜e＜1$,所以C的离心率的取值范围为$(\frac {\sqrt {2}}{2},1).$

(1)(2025·新乡期中)与椭圆$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}= 1$有相同焦点,且长轴长为$4\sqrt{5}$的椭圆的方程是(C)
A.$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{20}= 1$
B.$\dfrac{x^{2}}{20}+\dfrac{y^{2}}{25}= 1$
C.$\dfrac{x^{2}}{20}+\dfrac{y^{2}}{15}= 1$
D.$\dfrac{x^{2}}{15}+\dfrac{y^{2}}{20}= 1$

答案： C