《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

已知直线 $ l $ 的一个方向向量 $ \boldsymbol{m} = (2, -1, 3) $,且直线 $ l $ 过点 $ A(0, a, 3) $ 和 $ B(-1, 2, b) $,则 $ a + b = $ (D)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ \dfrac{3}{2} $
D.$ 3 $

答案： D

思考1
过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？
不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面;若两个定方向不共线，则确定唯一平面。

答案： 不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面;若两个定方向不共线，则确定唯一平面。

思考2
一定点和一个定方向能确定一个平面吗？可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的。

答案： 可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的。

1. 空间中平面的向量表示
如图,取定空间任意一点 $ O $,可以得到,空间一点 $ P $ 位于平面 $ ABC $ 内的充要条件是存在实数 $ x $,$ y $,使 $ \overrightarrow{OP} = $ ①$\overrightarrow {OA}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$。

把这个式子称为空间平面 $ ABC $ 的向量表示式。

答案： ①$\overrightarrow {OA}+x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$

2. 平面的法向量
如图,直线 $ l \perp \alpha $,取直线 $ l $ 的 ②方向向量$ \boldsymbol{a} $,我们称向量 $ \boldsymbol{a} $ 为平面 $ \alpha $ 的法向量。给定一个点 $ A $ 和一个向量 $ \boldsymbol{a} $,那么过点 $ A $,且以向量 $ \boldsymbol{a} $ 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 ③$\{ P|\boldsymbol{a}\cdot \overrightarrow {AP}=0\}$。

答案： ②方向向量　③$\{ P|\boldsymbol{a}\cdot \overrightarrow {AP}=0\}$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 零向量可以作为平面的法向量。 (×)
(2) 平面 $ \alpha $ 的法向量垂直于与平面 $ \alpha $ 共面的所有向量。 (√)
(3) 若点 $ A $,$ B $ 是平面 $ \alpha $ 上的任意两点,$ \boldsymbol{n} $ 是平面 $ \alpha $ 的法向量,则 $ \overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n} = 0 $。 (√)
(4) 如果向量 $ \boldsymbol{a} $,$ \boldsymbol{b} $ 与平面 $ \alpha $ 共面且 $ \boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{a} $,$ \boldsymbol{n} \perp \boldsymbol{b} $,那么 $ \boldsymbol{n} $ 就是平面 $ \alpha $ 的一个法向量。 (×)

答案：
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)×

2. (多选)在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,以下向量可以作为平面 $ ABC $ 法向量的是 (AD)
A.$ \overrightarrow{BB_1} $
B.$ \overrightarrow{A_1C_1} $
C.$ \overrightarrow{BC_1} $
D.$ \overrightarrow{AA_1} $

答案： AD

3. 已知 $ \boldsymbol{n} = (-3, 1, 2) $ 是平面 $ \alpha $ 的一个法向量,点 $ A(0, -3, -1) $,$ B(k, 2k, 2) $ 在平面 $ \alpha $ 内,则 $ k = $ 9。

答案： 9

例2

(1) 写出平面 $ ABB_1A_1 $ 的一个法向量；$\boldsymbol{n}_{1}=(1,0,0)$是平面$ABB_{1}A_{1}$的一个法向量
(2) 当 $ \lambda = \dfrac{1}{4} $ 时,写出平面 $ MCA_1 $ 的一个法向量。$\boldsymbol{n}_{2}=(2,2,1)$是平面$MCA_{1}$的一个法向量
母题探究
若平面 $ MCA_1 $ 的一个法向量为 $ \boldsymbol{n} = (2, 3, t) $,求 $ \lambda $,$ t $ 的值及点 $ M $ 的坐标。

答案：
(1)$\boldsymbol{n}_{1}=(1,0,0)$是平面$ABB_{1}A_{1}$的一个法向量；
(2)$\boldsymbol{n}_{2}=(2,2,1)$是平面$MCA_{1}$的一个法向量。