《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[练习1] 经过直线 $2x - y + 3 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$ 的两个交点,且面积最小的圆的方程是$(x+\frac{3}{5})^{2}+(y-\frac{9}{5})^{2}=\frac{19}{5}$.

答案： $(x+\frac{3}{5})^{2}+(y-\frac{9}{5})^{2}=\frac{19}{5}$

[练习2] 已知圆 $C_1: x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ 与圆 $C_2: x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0$ 相交于 $A$,$B$ 两点.
(1) 求公共弦 $AB$ 所在直线的方程；
(2) 求过两圆交点 $A$,$B$,且过原点的圆的方程.
(1)$x - y - 3 = 0$
(2)$x^{2}+y^{2}-3x + y = 0$

答案： 解:
(1)$x^{2}+y^{2}-2x - 3 = 0$ ①，$x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 3 = 0$ ②，① - ②得$2x - 2y - 6 = 0$，即公共弦$AB$所在直线的方程为$x - y - 3 = 0$.
(2)设圆的方程为$x^{2}+y^{2}-2x - 3+\lambda(x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 3)=0(\lambda\neq -1)$，即$(1 + \lambda)x^{2}+(1 + \lambda)y^{2}-(2 + 4\lambda)x + 2\lambda y - 3 + 3\lambda = 0$，因为圆过原点，所以$-3 + 3\lambda = 0$，即$\lambda = 1$，所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-3x + y = 0$.

1.(教材 $P_{98}$ 练习 $T_1$ 改编)圆 $C_1: x^2 + y^2 + 2x - 4y = 4$ 与圆 $C_2: (x - 1)^2 + y^2 = 1$ 的位置关系是(C)
A.相离
B.相切
C.相交
D.内含

答案： C

2.(多选)点 $P$ 在圆 $C_1: x^2 + y^2 = 1$ 上,点 $Q$ 在圆 $C_2: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 24 = 0$ 上,则(ACD)
A.两个圆外离
B.$|PQ|$ 的最小值为 $2$
C.$|PQ|$ 的最大值为 $7$
D.两个圆心所在直线的斜率为 $-\frac{4}{3}$

答案： ACD

3. 已知圆 $M: x^2 + y^2 - 2ay + a^2 - 4 = 0$ 与圆 $N: x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ 有 $4$ 条公切线,则 $a$ 的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},+\infty)$.

答案： $(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},+\infty)$

4.(教材 $P_{98}$ 练习 $T_2$ 改编)已知两圆 $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 1 = 0$ 和 $x^2 + y^2 - 10x - 12y + m = 0$. 求：
(1) $m$ 取何值时两圆外切？
(2) 当 $m = 45$ 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解:
(1)易得两圆的标准方程分别为$(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=11$，$(x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=61 - m(m\lt61)$，设圆心分别为$M(1,3)$，$N(5,6)$，半径分别为$\sqrt{11}$和$\sqrt{61 - m}$，当两圆外切时，满足$\sqrt{(5 - 1)^{2}+(6 - 3)^{2}}=\sqrt{11}+\sqrt{61 - m}$，解得$m = 25 + 10\sqrt{11}$.
(2)当$m = 45$时，有$\sqrt{61 - m}=4$，则$4-\sqrt{11}\lt\sqrt{(5 - 1)^{2}+(6 - 3)^{2}}\lt4+\sqrt{11}$，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为$x^{2}+y^{2}-2x - 6y - 1-(x^{2}+y^{2}-10x - 12y + 45)=0$，即$4x + 3y - 23 = 0$，圆心$M(1,3)$到直线$4x + 3y - 23 = 0$的距离为$d=\frac{\vert4 + 9 - 23\vert}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=2$，所以公共弦长$l = 2×\sqrt{11 - 4}=2\sqrt{7}$.

答案： 解:
(1)易得两圆的标准方程分别为$(x - 1)^{2}+(y - 3)^{2}=11$，$(x - 5)^{2}+(y - 6)^{2}=61 - m(m\lt61)$，设圆心分别为$M(1,3)$，$N(5,6)$，半径分别为$\sqrt{11}$和$\sqrt{61 - m}$，当两圆外切时，满足$\sqrt{(5 - 1)^{2}+(6 - 3)^{2}}=\sqrt{11}+\sqrt{61 - m}$，解得$m = 25 + 10\sqrt{11}$.
(2)当$m = 45$时，有$\sqrt{61 - m}=4$，则$4-\sqrt{11}\lt\sqrt{(5 - 1)^{2}+(6 - 3)^{2}}\lt4+\sqrt{11}$，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为$x^{2}+y^{2}-2x - 6y - 1-(x^{2}+y^{2}-10x - 12y + 45)=0$，即$4x + 3y - 23 = 0$，圆心$M(1,3)$到直线$4x + 3y - 23 = 0$的距离为$d=\frac{\vert4 + 9 - 23\vert}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=2$，所以公共弦长$l = 2×\sqrt{11 - 4}=2\sqrt{7}$.