《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

3. 某圆的圆心为点 $ (2, -1) $,且过点 $ (4, -2) $,则圆的标准方程为 $$$(x-2)^2+(y+1)^2=5$$$。

答案： $(x-2)^2+(y+1)^2=5$

思考
平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？
分为点在圆外、点在圆上、点在圆内,可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置.

答案： 提示:分为点在圆外、点在圆上、点在圆内,可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置.

圆 $ C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 (r ＞ 0) $,其圆心为 $ C(a,b) $,半径为 $ r $,已知点 $ P(x_0,y_0) $,设 $ d = |PC| = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2} $。
当点$P$在圆$C$外时，$d$①$＞$$r$；当点$P$在圆$C$外时，$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2$②$＞$$r^2$；当点$P$在圆$C$上时，$d$③$=$$r$；当点$P$在圆$C$上时，$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2$④$=$$r^2$；当点$P$在圆$C$内时，$d$⑤$＜$$r$；当点$P$在圆$C$内时，$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2$⑥$＜$$r^2$。

答案： ①$＞$ ②$＞$ ③$=$ ④$=$ ⑤$＜$ ⑥$＜$

例 1
(对接教材例 1)已知两点 $ P_1(3,8) $ 和 $ P_2(5,4) $，求以线段 $ P_1P_2 $ 为直径的圆的标准方程，并判断点 $ M(5,3) $，$ N(3,4) $，$ P(3,5) $ 是在圆上、在圆内、还是在圆外。
【解】 由题可知圆心坐标为$(4,6)$,圆的半径$r=\frac{1}{2}|P_1P_2|=\frac{1}{2}×\sqrt{(5-3)^2+(4-8)^2}=\sqrt{5}$,所以圆的标准方程为$(x-4)^2+(y-6)^2=5$.分别计算点$M,N,P$到圆心$(4,6)$的距离:$\sqrt{(4-5)^2+(6-3)^2}=\sqrt{10}＞\sqrt{5}$,$\sqrt{(4-3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{5}$,$\sqrt{(4-3)^2+(6-5)^2}=\sqrt{2}＜\sqrt{5}$,所以点$M$在圆外,点$N$在圆上,点$P$在圆内.

答案： 【解】 由题可知圆心坐标为$(4,6)$,圆的半径$r=\frac{1}{2}|P_1P_2|=\frac{1}{2}×\sqrt{(5-3)^2+(4-8)^2}=\sqrt{5}$,所以圆的标准方程为$(x-4)^2+(y-6)^2=5$.分别计算点$M,N,P$到圆心$(4,6)$的距离:$\sqrt{(4-5)^2+(6-3)^2}=\sqrt{10}＞\sqrt{5}$,$\sqrt{(4-3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{5}$,$\sqrt{(4-3)^2+(6-5)^2}=\sqrt{2}＜\sqrt{5}$,所以点$M$在圆外,点$N$在圆上,点$P$在圆内.

(1)(多选)已知圆 $ C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2 $,则下列点在圆 $ C $ 内的是(BC)
A.$ (0,0) $
B.$ (1,0) $
C.$ (2,1) $
D.$ (2, -1) $

答案：
(1)BC

(2) 已知点 $ (1,1) $ 在圆 $ (x - a)^2 + (y + a)^2 = 4 $ 的外部,则实数 $ a $ 的取值范围为 ______。

答案：
(2)$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$

三 求圆的标准方程
例 2
(对接教材例 3)求经过点 $ P(1,1) $ 和坐标原点 $ O $,并且圆心在直线 $ 2x + 3y + 1 = 0 $ 上的圆的标准方程。
【解】 方法一(待定系数法):设圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r＞0)$,则有$\begin{cases}a^2+b^2=r^2,\\(1-a)^2+(1-b)^2=r^2,\\2a+3b+1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=4,\\b=-3,\\r=5,\end{cases}$所以圆的标准方程是$(x-4)^2+(y+3)^2=25$.方法二(几何法):由题意,$OP$是圆的弦,$OP$的中点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,且$k_{OP}=1$,即$OP$的垂直平分线为$y-\frac{1}{2}=-(x-\frac{1}{2})$,即$x+y-1=0$,弦的垂直平分线过圆心,由$\begin{cases}2x+3y+1=0,\\x+y-1=0,\end{cases}$得$\begin{cases}x=4,\\y=-3,\end{cases}$即圆心坐标为$(4,-3)$,半径$r=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$.所以圆的标准方程是$(x-4)^2+(y+3)^2=25$.
母题探究
求经过点 $ P(1,1) $ 和坐标原点 $ O $ 且周长最小的圆的标准方程。
解:当线段$OP$为圆的直径时,过点$O,P$的圆的半径最小,从而周长最小,即所求圆以线段$OP$的中点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$为圆心,$\sqrt{(0-\frac{1}{2})^2+(0-\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径,故所求圆的标准方程为$(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$.

答案： 【解】 方法一(待定系数法):设圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r＞0)$,则有$\begin{cases}a^2+b^2=r^2,\\(1-a)^2+(1-b)^2=r^2,\\2a+3b+1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=4,\\b=-3,\\r=5,\end{cases}$所以圆的标准方程是$(x-4)^2+(y+3)^2=25$.方法二(几何法):由题意,$OP$是圆的弦,$OP$的中点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,且$k_{OP}=1$,即$OP$的垂直平分线为$y-\frac{1}{2}=-(x-\frac{1}{2})$,即$x+y-1=0$,弦的垂直平分线过圆心,由$\begin{cases}2x+3y+1=0,\\x+y-1=0,\end{cases}$得$\begin{cases}x=4,\\y=-3,\end{cases}$即圆心坐标为$(4,-3)$,半径$r=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$.所以圆的标准方程是$(x-4)^2+(y+3)^2=25$.母题探究 解:当线段$OP$为圆的直径时,过点$O,P$的圆的半径最小,从而周长最小,即所求圆以线段$OP$的中点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$为圆心,$\sqrt{(0-\frac{1}{2})^2+(0-\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径,故所求圆的标准方程为$(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$.