《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 椭圆的定义
如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点$F_{1}$,$F_{2}$(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出如图所示的轨迹。

思考1 在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示:笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
思考2 在这一过程中,绳子的长度与两定点$F_{1}$,$F_{2}$间的距离有何关系？
提示:绳子的长度大于两定点F₁,F₂间的距离.

答案： 思考1 提示:笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考2 提示:绳子的长度大于两定点F₁,F₂间的距离.

1. 定义：我们把平面内与两个定点$F_{1}$,$F_{2}的距离的和等于\boldsymbol{①}$常数(大于$\vert F_{1}F_{2}\vert$)的点的轨迹叫做椭圆。
2. 符号表示：$\vert MF_{1}\vert+\vert MF_{2}\vert=\boldsymbol{②}$2a(常数)($2a\boldsymbol{③}$＞$\vert F_{1}F_{2}\vert$)。
3. 焦点：两个定点$\boldsymbol{④}$F₁,F₂。
4. 焦距：两焦点间的距离$\boldsymbol{⑤}$|F₁F₂|。

答案： ①常数 ②2a ③＞ ④F₁,F₂ ⑤|F₁F₂|

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 已知点$F_{1}(-1,0)$,$F_{2}(1,0)$,动点$P满足\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 4$,则点$P$的轨迹是椭圆。(√)
(2) 已知点$F_{1}(-1,0)$,$F_{2}(1,0)$,动点$P满足\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2$,则点$P$的轨迹是椭圆。(×)
(3) 已知点$F_{1}(0,-1)$,$F_{2}(0,1)$,动点$P满足\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 1$,则点$P$的轨迹是椭圆。(×)

答案：
(1)√
(2)×
(3)×