《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

在等腰三角形 $ABC$ 中,若一腰的两个端点分别为 $A(4,2)$,$B(-2,0)$,$A$ 为两腰的交点,求另一腰的一个端点 $C$ 的轨迹方程。
设点C的坐标为$(x,y)$，因为$\triangle ABC$为等腰三角形，且A为两腰的交点，所以$|AB|=|AC|$。又因为$|AB|=\sqrt{(4 + 2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}$，所以$|AC|=\sqrt{(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}}=2\sqrt{10}$，所以$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=40$。又因为A，B，C三点不能共线，当A为线段BC的中点时，C点坐标为$(10,4)$，所以点C的轨迹方程为$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=40$（去掉点$(-2,0)$，$(10,4)$）。

答案： 设点C的坐标为$(x,y)$，因为$\triangle ABC$为等腰三角形，且A为两腰的交点，所以$|AB|=|AC|$。又因为$|AB|=\sqrt{(4 + 2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}$，所以$|AC|=\sqrt{(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}}=2\sqrt{10}$，所以$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=40$。又因为A，B，C三点不能共线，当A为线段BC的中点时，C点坐标为$(10,4)$，所以点C的轨迹方程为$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=40$（去掉点$(-2,0)$，$(10,4)$）。

[典例]
已知点 $P$ 是曲线 $(x - 1)^{2}+y^{2}= 1$ 上的动点,点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$,则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的取值范围为 $\underline{[-4,0]}$。

答案： $[-4,0]$

[练习 1]
已知实数 $x$,$y$ 满足 $x^{2}+y^{2}-4x - 2y - 4 = 0$,则 $x - y$ 的最大值是 $\underline{$1 + 3\sqrt{2}$}$。

答案： $1 + 3\sqrt{2}$

[练习 2]
已知 $P$ 是圆 $C:x^{2}+(y - 2)^{2}= 1$ 上一动点,$A(2,0)$,$Q$ 为 $AP$ 的中点,$O$ 为坐标原点,则点 $Q$ 的轨迹方程为 $\underline{$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=\frac{1}{4}$}$。

答案： $(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=\frac{1}{4}$

1.(教材 $P_{88}$ 练习 $T_{1}$ 改编)圆 $C:x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$ 的圆心坐标为(D)
A.$(1,2)$
B.$(1,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-1,2)$

答案： D

2.(多选)若方程 $x^{2}+y^{2}+ax + 2ay + 2a^{2}+a - 1 = 0$ 表示圆,则实数 $a$ 的值可以是(AB)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-2$

答案： AB

3. 过坐标原点,且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为 $2$ 和 $3$ 的圆的方程为 $\underline{$x^{2}+y^{2}-2x - 3y = 0$}$。

答案： $x^{2}+y^{2}-2x - 3y = 0$