《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 空间向量基本定理
如图,已知正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 $a$,在 $AB$,$AD$,$AA_{1}$ 上分别取单位向量 $\boldsymbol{e}_{1}$,$\boldsymbol{e}_{2}$,$\boldsymbol{e}_{3}$.

思考 1 $\boldsymbol{e}_{1}$,$\boldsymbol{e}_{2}$,$\boldsymbol{e}_{3}$ 共面吗？
不共面
思考 2 能否用 $\boldsymbol{e}_{1}$,$\boldsymbol{e}_{2}$,$\boldsymbol{e}_{3}$ 表示向量 $\overrightarrow{AC_{1}}$？若能,如何表示？
能,$\overrightarrow {AC_{1}}=ae_{1}+ae_{2}+ae_{3}$

答案： 思考 1 提示:不共面. 思考 2 提示:能,$\overrightarrow {AC_{1}}=ae_{1}+ae_{2}+ae_{3}.$

1. 定理

答案： ①不共面 ②任意一个 ③$p=xa+yb+zc$

2. 基底
三个向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$④不共面,那么 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 叫做空间的一个基底,$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 都叫做⑤基向量.
如果空间的一个基底中的三个基向量两两⑥垂直,且长度都为⑦1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 $\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ 表示.

答案： ④不共面 ⑤基向量 ⑥垂直 ⑦1

3. 正交分解
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 $\boldsymbol{a}$,均可以分解为三个向量 $x\boldsymbol{i}$,$y\boldsymbol{j}$,$z\boldsymbol{k}$,使⑧$a=xi+yj+zk$. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两⑨垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

答案： ⑧$a=xi+yj+zk$ ⑨垂直

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1) $\boldsymbol{0}$ 也可以作为基向量. (×)
(2) 空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示. (×)
(3) 如果向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线. (√)
(4) 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. (×)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×

2. 已知 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个基底,则可以与向量 $\boldsymbol{p}= \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{q}= \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 构成基底的向量是 (D)
A.$\boldsymbol{a}$
B.$\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$

答案： D

3. 已知 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个单位正交基底,$\boldsymbol{p}= \boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c}$,若 $\boldsymbol{p}= x(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+y(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+z\boldsymbol{c}$,则 $x + y + z= $4.

答案： 4