《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[跟踪训练2] (多选)已知实数$x$,$y满足方程x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$,则下列说法正确的是(ABD)
A.$\frac{y}{x}的最大值为\frac{4}{3}$
B.$x + y的最大值为3 + \sqrt{2}$
C.$x^2 + y^2的最大值为\sqrt{5} + 1$
D.$\frac{\vert 3x + 4y + 5\vert}{5}的取值范围是[2,4]$

答案： ABD

[例3](对接教材例4)如图,已知一艘海监船$O$上配有雷达,其监测范围是半径为$25$km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东$40$km的$A$处出发,径直驶向位于海监船正北$30$km的$B$处岛屿,速度为$28$km/h.

(1)求外籍轮船航行路径所在的直线方程； $3x + 4y - 120 = 0$
(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能,持续时间多长？能被监测到，持续时间为$\frac{1}{2}h$

答案： （1）$3x + 4y - 120 = 0$；（2）能被监测到，持续时间为$\frac{1}{2}h$

[跟踪训练3] 已知某隧道内设双行线公路,车辆只能在道路中心线一侧行驶,隧道截面是半径为$4$米的半圆,若行驶车辆的宽度为$2.5$米,则车辆的最大高度为3.1米.(参考数据：$\sqrt{39}\approx6.24$,$\sqrt{29}\approx5.39$,保留小数点后一位有效数字)

答案： 3.1

1. 设$P为直线l:y = -1$上的动点,过点$P作圆C:(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$的切线,则切线长的最小值为(B)
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$\sqrt{13}$

答案： B

2. (多选)(教材$P_{103}T_{20}$改编)已知直线$l:(m - 1)x + 2my - 3m + 3 = 0$,$m\in\mathbf{R}和圆C:(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$,下列说法正确的是(ABD)
A.直线$l恒过定点(3,0)$
B.圆$C被x轴截得的弦长为2\sqrt{3}$
C.直线被圆截得的弦长存在最大值,且最大值为$2\sqrt{2}$
D.直线被圆截得的弦长存在最小值,且最小值为$2\sqrt{2}$

答案： ABD

3. (教材$P_{95}T_{1}$改编)小明家附近有一座圆拱桥,当水面跨度是$40$米时,拱顶离水面$5$米.当水面上涨$4$米后,水面的跨度为$4\sqrt{21}$米.

答案： $4\sqrt{21}$