《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1)已知直线$ l:x + y - 1 = 0 与椭圆 C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}= 1 交于 A,B $两点,$ P 为 C $的右顶点,则$ \triangle ABP $的面积为(C)
A.$\frac{\sqrt{15}}{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

答案： C

(2)已知斜率为1的直线$ l 被椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}= 1截得的弦长为\frac{4\sqrt{2}}{5}$,则直线$ l $的方程为$y = x \pm 2$。

答案： $y = x \pm 2$

[例3] 已知椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}= 1$和点 $P(4,2) $,直线$ l $经过点 $P $且与椭圆交于 A,B 两点。当点$ P $恰好为线段 AB 的中点时,求$ l $的方程。
母题探究
若本例中椭圆方程不变,一组直线的斜率都是$\frac{1}{2}$,当它们与该椭圆交于两点时,证明这组直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上。
直线$l$的方程为$x + 2y - 8 = 0$；证明：设直线与椭圆的交点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1 \neq x_2$，$AB$的中点为$M(x,y)$，则有$\begin{cases}\frac{x_1^{2}}{36} + \frac{y_1^{2}}{9} = 1\frac{x_2^{2}}{36} + \frac{y_2^{2}}{9} = 1\end{cases}$，两式相减得$\frac{x_1^{2} - x_2^{2}}{36} + \frac{y_1^{2} - y_2^{2}}{9} = 0$，所以$k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{9(x_1 + x_2)}{36(y_1 + y_2)}$，所以$\frac{1}{2} = -\frac{9×2x}{36×2y}$，整理得$x + 2y = 0$，点$(0,0)$适合方程，故这组直线被椭圆截得的线段的中点在直线$x + 2y = 0$上。

答案： 直线$l$的方程为$x + 2y - 8 = 0$；证明：设直线与椭圆的交点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且$x_1 \neq x_2$，$AB$的中点为$M(x,y)$，则有$\begin{cases}\frac{x_1^{2}}{36} + \frac{y_1^{2}}{9} = 1\frac{x_2^{2}}{36} + \frac{y_2^{2}}{9} = 1\end{cases}$，两式相减得$\frac{x_1^{2} - x_2^{2}}{36} + \frac{y_1^{2} - y_2^{2}}{9} = 0$，所以$k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{9(x_1 + x_2)}{36(y_1 + y_2)}$，所以$\frac{1}{2} = -\frac{9×2x}{36×2y}$，整理得$x + 2y = 0$，点$(0,0)$适合方程，故这组直线被椭圆截得的线段的中点在直线$x + 2y = 0$上。

(1)已知椭圆$ C $的其中一个焦点为 $ F(0,-4) $,过点$ F $的直线交椭圆 $ C $于 $ A,B $两点,若$ AB $的中点坐标为 $(1,-1) $,则椭圆$ C $的方程为(C)
A.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{20}= 1$
B.$\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{8}= 1$
C.$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{24}= 1$
D.$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{4}= 1$

答案： C

(2)(2025·长沙期末)已知$ A,B 为椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}= 1$上的两个点,且直线$ AB 的方程为 y = -x + 1 $,则$ AB $的中点与原点连线的斜率为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$