《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 空间中点、直线的向量表示
思考
在空间中,如何确定一条直线？
两点确定一条直线;直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线.

答案： 两点确定一条直线;直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线.

1. 点的位置向量
在空间中,取一定点 $ O $ 作为 ①基点,那么空间中任意一点 $ P $ 就可以用向量 $ \overrightarrow{OP} $ 来表示,向量 $ \overrightarrow{OP} $ 称为点 $ P $ 的 ②位置向量。

答案： ①基点　②位置向量

2. 空间直线的向量表示
如图,$ \boldsymbol{a} $ 是直线 $ l $ 的方向向量,在直线 $ l $ 上取 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} $,取定空间中的任意一点 $ O $,可以得到点 $ P $ 在直线 $ l $ 上的充要条件是存在实数 $ t $,使 $ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\boldsymbol{a} $,①将 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} $ 代入①式,得 $ \overrightarrow{OP} = $ ③$\overrightarrow {OA}+t\overrightarrow {AB}$。②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式。

答案： ③$\overrightarrow {OA}+t\overrightarrow {AB}$

3. 空间任意直线由直线上一点及直线的 ④方向向量唯一确定。

答案： ④方向向量

例1

如图,在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,底面 $ ABCD $ 为矩形,$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $,$ E $ 为 $ PD $ 的中点,$ AB = AP = 1 $,$ AD = \sqrt{3} $,试建立恰当的空间直角坐标系,求：
(1) $ E $ 的坐标；
(2) 直线 $ CE $ 的一个方向向量。
(1)因为E为PD的中点，所以E的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
(2)$\overrightarrow {CE}=(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$即为直线CE 的一个方向向量。

答案：
(1)因为E为PD的中点，所以E的坐标为$(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
(2)$\overrightarrow {CE}=(-1,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$即为直线CE 的一个方向向量。