《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例1]
对接教材例4 求椭圆$x^{2}+9y^{2}= 36$的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率,并画出它的草图。

答案：
[解]　将$x^{2}+9y^{2}=36$化为标准方程为$\frac {x^{2}}{36}+\frac {y^{2}}{4}=1$,所以$a=6,b=2$,则$c=\sqrt {a^{2}-b^{2}}=\sqrt {36-4}=4\sqrt {2}$,所以椭圆的长轴长为12,短轴长为4,焦距为$8\sqrt {2}$,顶点坐标为$(-6,0),(6,0),(0,2),(0,-2)$,焦点坐标为$(-4\sqrt {2},0)$和$(4\sqrt {2},0)$,离心率为$e=\frac {c}{a}=\frac {2\sqrt {2}}{3}$,椭圆的草图如图.
　　　　

(1)(多选)(2025·佛山月考)已知$F_{1}$,$F_{2}是椭圆C:\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}= 1$的两个焦点,点$P在C上且不在x$轴上,则(BD)
A.椭圆$C的长轴长为5$
B.椭圆$C的离心率为\dfrac{4}{5}$
C.椭圆$C的焦距为4$
D.$\vert PF_{1}\vert的取值范围为(1,9)$

答案： BD

(2)如图,将椭圆$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{8}= 1的长轴AB分成8$等份,过每个分点作$x轴的垂线交椭圆的上半部分于P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$,$P_{5}$,$P_{6}$,$P_{7}$七个点,$F$是椭圆的一个焦点,则$\vert P_{1}F\vert+\vert P_{2}F\vert+…+\vert P_{7}F\vert=$28。

答案： 28

[例2]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在$x$轴上,长轴长为$4$,焦距为$2$；
(2)一个焦点坐标为$(2,0)$,短轴长为$2$；
(3)离心率为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$,短轴长为$4$。
[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a＞b＞0)$,因为长轴长为4,焦距为2，所以$2a=4,2c=2$,所以$a=2,c=1$,所以$b=\sqrt {a^{2}-c^{2}}=\sqrt {3}$,所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{3}=1.$
(2)因为焦点坐标为$(2,0)$，短轴长为2，所以设椭圆的方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$,所以$c=2,b=1$,所以$a=\sqrt {b^{2}+c^{2}}=\sqrt {5}$，所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{5}+y^{2}=1.$
(3)由题意知$\left\{\begin{array}{l} \frac {c}{a}=\frac {\sqrt {5}}{3},\\ 2b=4,\\ a^{2}=b^{2}+c^{2},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=2,\\ c=\sqrt {5},\end{array}\right. $所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{4}=1$或$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{9}=1.$

答案： [解]　
(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a＞b＞0)$,因为长轴长为4,焦距为2，所以$2a=4,2c=2$,所以$a=2,c=1$,所以$b=\sqrt {a^{2}-c^{2}}=\sqrt {3}$,所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{3}=1.$
(2)因为焦点坐标为$(2,0)$，短轴长为2，所以设椭圆的方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$,所以$c=2,b=1$,所以$a=\sqrt {b^{2}+c^{2}}=\sqrt {5}$，所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{5}+y^{2}=1.$
(3)由题意知$\left\{\begin{array}{l} \frac {c}{a}=\frac {\sqrt {5}}{3},\\ 2b=4,\\ a^{2}=b^{2}+c^{2},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=3,\\ b=2,\\ c=\sqrt {5},\end{array}\right. $所以椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{4}=1$或$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{9}=1.$