《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(2)已知椭圆$C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$,$F_{2}$,若$C上存在一点P$,使得$\vert PF_{1}\vert=\dfrac{3}{2}\vert PF_{2}\vert$,则椭圆$C$的离心率的取值范围是(D)
A.$\left(0,\dfrac{1}{5}\right]$
B.$\left(0,\dfrac{1}{2}\right]$
C.$\left[\dfrac{1}{2},1\right)$
D.$\left[\dfrac{1}{5},1\right)$

答案： D

(3)已知$O$为坐标原点,$A$,$B$,$F分别是椭圆C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0)$的左顶点、上顶点和右焦点,点$P在椭圆C$上,且$PF\perp OF$,若$AB// OP$,则椭圆$C$的离心率为$\frac {\sqrt {2}}{2}$。

答案： $\frac {\sqrt {2}}{2}$

1. 已知椭圆$\dfrac{x^{2}}{m}+y^{2}= 1(m＞0)的焦点在x$轴上,长轴长是短轴长的两倍,则$m$的值为(D)
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： D

2. (多选)(2025·太原期中)已知椭圆$C:\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{4}= 1$,则下列说法正确的是(BCD)
A.$(2,0)是椭圆C$的一个顶点
B.$(0,1)是椭圆C$的一个焦点
C.椭圆$C的离心率e= \dfrac{1}{2}$
D.椭圆$C的短轴长为2\sqrt{3}$

答案： BCD

3. (教材$P_{112}T_{5}$改编)若椭圆$C_{1}:\dfrac{x^{2}}{m}+\dfrac{y^{2}}{9}= 1(m＞9)比椭圆C_{2}:\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{3}= 1$更扁,则椭圆$C_{1}$的长轴长的取值范围是 $(6\sqrt{2},+\infty )$。

答案： $(6\sqrt{2},+\infty )$

4. (教材$P_{112}T_{3}$,$T_{4}$改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点$P(3,0)$,$Q(0,2)$；
(2)焦点在$y$轴上,短轴长为$12$,离心率为$\dfrac{4}{5}$。
解:
(1)由题意可得椭圆焦点在x轴上,且$a=3,b=2,$故椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{4}=1.$
(2)因为焦点在y轴上,所以设椭圆方程为$\frac {x^{2}}{b^{2}}+\frac {y^{2}}{a^{2}}=1(a＞b＞0),$由题意得$2b=12,\frac {c}{a}=\frac {4}{5}$①,得$b=6$,而$a^{2}=b^{2}+c^{2}=36+c^{2}$②,由①②解得$a=10,c=8,$故椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{36}+\frac {y^{2}}{100}=1.$

答案： 解:
(1)由题意可得椭圆焦点在x轴上,且$a=3,b=2,$故椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{4}=1.$
(2)因为焦点在y轴上,所以设椭圆方程为$\frac {x^{2}}{b^{2}}+\frac {y^{2}}{a^{2}}=1(a＞b＞0),$由题意得$2b=12,\frac {c}{a}=\frac {4}{5}$①,得$b=6$,而$a^{2}=b^{2}+c^{2}=36+c^{2}$②,由①②解得$a=10,c=8,$故椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{36}+\frac {y^{2}}{100}=1.$