《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例1](对接教材例5)已知两圆 $C_1: x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 5 = 0$ 和 $C_2: x^2 + y^2 + 2x - 2ay + a^2 - 3 = 0$.
(1) 当 $a = 1$ 时,两圆位置关系如何？
(2) 当 $a$ 为何值时,两圆外切、内切？
[解]　　
(1)当$a = 1$时，圆$C_{1}:(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=9$，圆$C_{2}:(x + 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，圆心$C_{1}(1,-2)$，半径$r_{1}=3$，圆心$C_{2}(-1,1)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$d=\vert C_{1}C_{2}\vert=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，$r_{1}+r_{2}=5$，$r_{1}-r_{2}=1$，因为$1\lt\sqrt{13}\lt5$，所以两圆相交.
(2)由$x^{2}+y^{2}-2ax + 4y + a^{2}-5 = 0$，可得$(x - a)^{2}+(y + 2)^{2}=9$，即圆心为$C_{1}(a,-2)$，半径$r_{1}=3$，由$x^{2}+y^{2}+2x - 2ay + a^{2}-3 = 0$，可得$(x + 1)^{2}+(y - a)^{2}=4$，即圆心为$C_{2}(-1,a)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}$，若两圆外切，则$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}=r_{1}+r_{2}=5$，即$a^{2}+3a - 10=(a + 5)(a - 2)=0$，所以$a = -5$或$a = 2$；若两圆内切，则$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}=r_{1}-r_{2}=1$，即$a^{2}+3a + 2=(a + 2)(a + 1)=0$，所以$a = -2$或$a = -1$.

答案： [解]　　
(1)当$a = 1$时，圆$C_{1}:(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=9$，圆$C_{2}:(x + 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，圆心$C_{1}(1,-2)$，半径$r_{1}=3$，圆心$C_{2}(-1,1)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$d=\vert C_{1}C_{2}\vert=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，$r_{1}+r_{2}=5$，$r_{1}-r_{2}=1$，因为$1\lt\sqrt{13}\lt5$，所以两圆相交.
(2)由$x^{2}+y^{2}-2ax + 4y + a^{2}-5 = 0$，可得$(x - a)^{2}+(y + 2)^{2}=9$，即圆心为$C_{1}(a,-2)$，半径$r_{1}=3$，由$x^{2}+y^{2}+2x - 2ay + a^{2}-3 = 0$，可得$(x + 1)^{2}+(y - a)^{2}=4$，即圆心为$C_{2}(-1,a)$，半径$r_{2}=2$，所以圆心距$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}$，若两圆外切，则$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}=r_{1}+r_{2}=5$，即$a^{2}+3a - 10=(a + 5)(a - 2)=0$，所以$a = -5$或$a = 2$；若两圆内切，则$d=\sqrt{(a + 1)^{2}+(a + 2)^{2}}=r_{1}-r_{2}=1$，即$a^{2}+3a + 2=(a + 2)(a + 1)=0$，所以$a = -2$或$a = -1$.

(1) 已知圆 $E: (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25$,圆 $F: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$,则这两圆的位置关系为(A)
A.内含
B.相切
C.相交
D.外离

答案： A

(2) 圆 $(x - a)^2 + (y - 2a - 3)^2 = 9$ 上总存在两个点到 $(2, 3)$ 的距离为 $1$,则 $a$ 的取值范围是$(-\frac{6}{5},0)\cup(\frac{4}{5},2)$.

答案： $(-\frac{6}{5},0)\cup(\frac{4}{5},2)$

[例2]
(1)(多选)若两圆 $x^2 + y^2 = 4$ 和 $(x + 2)^2 + (y - a)^2 = 25$ 相切,则实数 $a$ 的值可以为(ACD)
A.$-\sqrt{5}$
B.$-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$3\sqrt{5}$

答案： ACD

(2) 经过点 $(0, 4)$,且与圆 $C: x^2 + y^2 + 10x + 10y = 0$ 相切于原点的圆的方程为$(x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=8$.

答案： $(x - 2)^{2}+(y - 2)^{2}=8$

(1) 若圆 $C_1: x^2 + y^2 = 9$ 与圆 $C_2: (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = m$ 外切,则 $m$ 的值是(C)
A.$16$
B.$8$
C.$4$
D.$1$

答案： C

(2) 以点 $C(3, -4)$ 为圆心,且与圆 $x^2 + y^2 = 1$ 相切的圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=16$或$(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=36$.

答案： $(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=16$或$(x - 3)^{2}+(y + 4)^{2}=36$