《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

4.(教材 $P_{89}T_{8}$ 改编)在平面直角坐标系 $Oxy$ 中,线段 $MN$ 的两个端点 $M$,$N$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动,且 $|MN| = 4$,求线段 $MN$ 的中点 $C$ 的轨迹方程。
设$C(x,y)$。当O与线段MN的一个端点重合时，因为C为线段MN的中点，所以$|OC|=\frac{1}{2}|MN|=2$；当O与点M或点N不重合时，因为C为线段MN的中点，在$Rt\triangle OMN$中，$|OC|=\frac{1}{2}|MN|=2$。所以点C在以O为圆心，2为半径的圆上，所以点C的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=4$。或设$M(a,0)$，$N(0,b)$，线段MN的中点$C(x,y)$，因为C为线段MN的中点，所以$x=\frac{a + 0}{2}=\frac{a}{2}$，$y=\frac{0 + b}{2}=\frac{b}{2}$，因为$|MN|=\sqrt{(a - 0)^{2}+(0 - b)^{2}}=4$，所以$a^{2}+b^{2}=16$，即$(2x)^{2}+(2y)^{2}=16$，化简得$x^{2}+y^{2}=4$。所以点C的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=4$。

答案： 设$C(x,y)$。当O与线段MN的一个端点重合时，因为C为线段MN的中点，所以$|OC|=\frac{1}{2}|MN|=2$；当O与点M或点N不重合时，因为C为线段MN的中点，在$Rt\triangle OMN$中，$|OC|=\frac{1}{2}|MN|=2$。所以点C在以O为圆心，2为半径的圆上，所以点C的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}=4$。或设$M(a,0)$，$N(0,b)$，线段MN的中点$C(x,y)$，因为C为线段MN的中点，所以$x=\frac{a + 0}{2}=\frac{a}{2}$，$y=\frac{0 + b}{2}=\frac{b}{2}$，因为$|MN|=\sqrt{(a - 0)^{2}+(0 - b)^{2}}=4$，所以$a^{2}+b^{2}=16$，即$(2x)^{2}+(2y)^{2}=16$，化简得$x^{2}+y^{2}=4$。所以点C的轨迹方程是$x^{2}+y^{2}=4$。

思考1 如果我们把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,观察太阳落山的图片,你认为直线与圆有哪些位置关系？

相离、相切与相交.

答案： 相离、相切与相交.

思考2 在平面直角坐标系中,如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？
可以研究直线方程和圆的方程组成的方程组的解的个数或者研究圆心到直线的距离与半径长度的关系.

答案： 可以研究直线方程和圆的方程组成的方程组的解的个数或者研究圆心到直线的距离与半径长度的关系.