《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(2025·潍坊期中)如图,在三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中,$AB\perp BC$,$AB = BC = 2$,$D$ 为 $AC$ 中点,四边形 $BCC_1B_1$ 为正方形。

1. 求证：$B_1C//$ 平面 $A_1BD$；
2. 若 $AB\perp B_1C$,求直线 $AB$ 与平面 $A_1BD$ 所成角的正弦值。
2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

思考1 两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？
两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角。

答案： 两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角。

思考2 两个平面的夹角与二面角是一个概念吗？
不是，两个平面的夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$，二面角的范围是$[0,\pi]$。

答案： 不是，两个平面的夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$，二面角的范围是$[0,\pi]$。

1. 两平面的夹角：平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中 不大于$90^{\circ}$ 的二面角称为平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角。

答案： ①不大于$90^{\circ}$

2. 两平面夹角的计算：若平面$ \alpha,\beta $的法向量分别是$ \boldsymbol{n}_1 $和$ \boldsymbol{n}_2,$则平面$ \alpha $与平面$ \beta $的夹角即向量$ \boldsymbol{n}_1 $和$ \boldsymbol{n}_2 $的夹角或其补角。设平面$ \alpha $与平面$ \beta $的夹角为$ \theta,$则$ \cos\theta = $|$\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle$|$ = \left$|$\dfrac{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}\right$|$ = \underline${②$\frac{|n_{1}\cdot n_{2}|}{|n_{1}||n_{2}|}$}。

答案： ②$\frac{|n_{1}\cdot n_{2}|}{|n_{1}||n_{2}|}$

例2

(对接教材例8)已知直三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中,$AB = BC = BB_1 = 2$,且 $AB\perp BC$,点 $E$,$F$ 分别为线段 $AC$ 和 $CC_1$ 的中点。
1. 证明：$A_1E\perp$ 平面 $BEF$；
2. 求平面 $ABC_1$ 与平面 $BEF$ 的夹角。
2.$\frac{\pi}{6}$

答案： 2.$\frac{\pi}{6}$