《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[跟踪训练1] 在平面直角坐标系 $ Oxy $ 中,已知圆 $ M: x^2 + y^2 - 2x + 2ay + 3 = 0 $,$ M $ 上存在两点关于直线 $ x + y + 1 = 0 $ 对称.
(1) 求 $ M $ 的半径；
(2) 过坐标原点 $ O $ 的直线 $ l $ 被 $ M $ 截得的弦长为 $ 2 $,求 $ l $ 的方程.
(1)圆M:x²+y²-2x+2ay+3=0,即(x-1)²+(y+a)²=a²-2(a²-2＞0),则圆心为M(1,-a),半径r=√(a²-2).因为M上存在两点关于直线x+y+1=0对称,所以点M(1,-a)在直线x+y+1=0上,所以1-a+1=0,解得a=2,所以M的半径r=√2.
(2)由(1)可得(x-1)²+(y+2)²=2,圆心为M(1,-2),因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为2,所以圆心M(1,-2)到直线的距离d=√[(√2)²-1²]=1,若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,此时圆心M(1,-2)到直线l的距离d=1,符合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx,则d=|k+2|/√(k²+(-1)²)=1,解得k=-3/4,所以直线l的方程为y=-3/4x,即3x+4y=0.综上可得，直线l的方程为x=0或3x+4y=0.

答案：
(1)圆M:x²+y²-2x+2ay+3=0,即(x-1)²+(y+a)²=a²-2(a²-2＞0),则圆心为M(1,-a),半径r=√(a²-2).因为M上存在两点关于直线x+y+1=0对称,所以点M(1,-a)在直线x+y+1=0上,所以1-a+1=0,解得a=2,所以M的半径r=√2.
(2)由
(1)可得(x-1)²+(y+2)²=2,圆心为M(1,-2),因为过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为2,所以圆心M(1,-2)到直线的距离d=√[(√2)²-1²]=1,若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,此时圆心M(1,-2)到直线l的距离d=1,符合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx,则d=|k+2|/√(k²+(-1)²)=1,解得k=-3/4,所以直线l的方程为y=-3/4x,即3x+4y=0.综上可得，直线l的方程为x=0或3x+4y=0.

[例2] (对接教材例2) 若直线 $ l $ 过点 $ P(2,3) $,且与圆 $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 $ 相切,求直线 $ l $ 的方程.
母题探究1 若本例点 $ P $ 的坐标改为 $ P(2, -2) $,其他条件不变,求直线 $ l $ 的方程.
母题探究2 在本例条件下,求此切线长.
【解】方法一(几何法):因为(2-1)²+(3+2)²＞1,所以点P在圆外.
①若直线l的斜率存在,设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,因为直线l与圆(x-1)²+(y+2)²=1相切,所以|5-k|/√(k²+1)=1,所以k=12/5.
所以直线l的方程为y-3=12/5(x-2),即12x-5y-9=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2也符合要求.
所以直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
方法二(代数法):①若直线l的斜率存在,设直线l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3,与圆的方程联立消去y得(x-1)²+[k(x-2)+3+2]²=1,整理得(k²+1)x²-(4k²-10k+2)x+4k²-20k+25=0,所以Δ=(4k²-10k+2)²-4(k²+1)(4k²-20k+25)=0,解得k=12/5.
此时直线l的方程为y-3=12/5(x-2),即12x-5y-9=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2也符合要求.
所以直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
母题探究1 解:因为(2-1)²+(-2+2)²=1,所以点P在圆上.所以过点P(2,-2)的切线方程为x=2,即直线l的方程为x=2.
母题探究2 解:点P(2,3)到圆心(1,-2)的距离为√[(2-1)²+(3+2)²]=√26,所以切线长为√(26-1)=5.

答案： 【解】方法一(几何法):因为(2-1)²+(3+2)²＞1,所以点P在圆外.
①若直线l的斜率存在,设直线l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,因为直线l与圆(x-1)²+(y+2)²=1相切,所以|5-k|/√(k²+1)=1,所以k=12/5.
所以直线l的方程为y-3=12/5(x-2),即12x-5y-9=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2也符合要求.
所以直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
方法二(代数法):①若直线l的斜率存在,设直线l:y-3=k(x-2),即y=k(x-2)+3,与圆的方程联立消去y得(x-1)²+[k(x-2)+3+2]²=1,整理得(k²+1)x²-(4k²-10k+2)x+4k²-20k+25=0,所以Δ=(4k²-10k+2)²-4(k²+1)(4k²-20k+25)=0,解得k=12/5.
此时直线l的方程为y-3=12/5(x-2),即12x-5y-9=0.
②若直线l的斜率不存在,则直线l:x=2也符合要求.
所以直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2.
母题探究1 解:因为(2-1)²+(-2+2)²=1,所以点P在圆上.所以过点P(2,-2)的切线方程为x=2,即直线l的方程为x=2.
母题探究2 解:点P(2,3)到圆心(1,-2)的距离为√[(2-1)²+(3+2)²]=√26,所以切线长为√(26-1)=5.