《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例1] (对接教材例7)已知直线$ l:y = 2x + m $,椭圆$ C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}= 1 $。试问当$ m $取何值时,直线$ l $与椭圆$ C $：
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(1)当$-3\sqrt{2} ＜ m ＜ 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有两个不同的公共点；
(2)当$m = \pm 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有且只有一个公共点。

答案：
(1)当$-3\sqrt{2} ＜ m ＜ 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有两个不同的公共点；
(2)当$m = \pm 3\sqrt{2}$时，直线$l$与椭圆$C$有且只有一个公共点。

(1)若直线$ l:y = x + m 与椭圆 C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}= 1 $没有公共点,则$ m $的取值范围为(D)
A.$ (-2,2) $
B.$ (-\infty,-2)\cup(2,+\infty) $
C.$ (-\sqrt{14},\sqrt{14}) $
D.$ (-\infty,-\sqrt{14})\cup(\sqrt{14},+\infty) $

答案： D

(2)(2025·杭州期中)若动直线 mx + ny - m - n = 0 始终与椭圆$ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}= 1(a ＞ 0) $有公共点,则 a 的取值范围是$[\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$。

答案： $[\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$

[例2] (2025·六安期中)已知椭圆$ C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a ＞ b ＞ 0) $的长轴长为4,且椭圆 C 的离心率为$\frac{1}{2},$其左、右焦点分别为$ F_1,F_2 。$
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设斜率为$\sqrt{3}$且过$ F_2 $的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,求弦长 |PQ| 。(1)椭圆C的标准方程为$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1；$(2)弦长|PQ|$ = \frac{16}{5}$

答案：
(1)椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$；
(2)弦长$|PQ| = \frac{16}{5}$