《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

例3 已知$a$,$b$为实数,平面直角坐标系内三条直线,直线$l_{1}:ax + by + 4 = 0$,$l_{2}:(a - 1)x + y - 2 = 0$,$l_{3}:x + 2y + 3 = 0$。
(1) 若$l_{1}⊥l_{2}$,且$l_{1}经过点(-1,1)$,求实数$a$,$b$的值；
(2) 若$l_{1}//l_{2}且l_{1}⊥l_{3}$,求实数$a$,$b$的值。
(1)因为$l_{1}:ax + by + 4 = 0$，$l_{2}:(a - 1)x + y - 2 = 0$，且$l_{1}⊥l_{2}$，所以$a(a - 1) + b = 0$，又直线$l_{1}$过点$(-1,1)$，所以$-a + b + 4 = 0$，所以$b = a - 4$，所以$a(a - 1) + (a - 4) = 0$，所以$\begin{cases}a = 2\\b = -2\end{cases}$或$\begin{cases}a = -2\\b = -6\end{cases}$。
(2)若$l_{1}// l_{2}$且$l_{1}⊥l_{3}$，则$\begin{cases}b(a - 1) = a\\-2b≠4\\a + 2b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = -1\\b = \frac{1}{2}\end{cases}$。
由于a，b不能同时为0，故$\begin{cases}a = -1\\b = \frac{1}{2}\end{cases}$。

答案：
(1)因为$l_{1}:ax + by + 4 = 0$，$l_{2}:(a - 1)x + y - 2 = 0$，且$l_{1}⊥l_{2}$，所以$a(a - 1) + b = 0$，又直线$l_{1}$过点$(-1,1)$，所以$-a + b + 4 = 0$，所以$b = a - 4$，所以$a(a - 1) + (a - 4) = 0$，所以$\begin{cases}a = 2\\b = -2\end{cases}$或$\begin{cases}a = -2\\b = -6\end{cases}$。
(2)若$l_{1}// l_{2}$且$l_{1}⊥l_{3}$，则$\begin{cases}b(a - 1) = a\\-2b≠4\\a + 2b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = -1\\b = \frac{1}{2}\end{cases}$。
由于a，b不能同时为0，故$\begin{cases}a = -1\\b = \frac{1}{2}\end{cases}$。

(1)(2025·淄博期中)已知直线$l_{1}:x + ay - 1 = 0和直线l_{2}:(3a - 2)x - ay - 2 = 0$,则“$a = \frac{1}{3}$”是“两直线平行”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 解析:选A.若直线$l_{1}:x + ay - 1 = 0$和直线$l_{2}:(3a - 2)x - ay - 2 = 0$平行，则$\begin{cases}-a = a(3a - 2)\\-2≠-(3a - 2)\end{cases}$，解得$a = \frac{1}{3}$或$a = 0$，因此，“$a = \frac{1}{3}$”是“两直线平行”的充分不必要条件。

(2)(2025·宿迁期中)已知点$A(2,4)$,直线$l:x - 2y + 1 = 0$。
①求过点$A且与直线l$平行的直线的方程；
②若点$M在直线l$上,且$AM⊥l$,求点$M$的坐标。
①设所求直线方程为$x - 2y + m = 0$（$m≠1$），将点A的坐标代入得$2 - 2×4 + m = 0$，所以$m = 6$，所以所求直线方程为$x - 2y + 6 = 0$。②因为点M在直线l上，设点$M(2y_{0} - 1,y_{0})$，因为$AM⊥l$，且直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，故$k_{AM} = \frac{y_{0} - 4}{2y_{0} - 3} = -2$，解得$y_{0} = 2$，所以点M的坐标为$(3,2)$。

答案： ①设所求直线方程为$x - 2y + m = 0$（$m≠1$），将点A的坐标代入得$2 - 2×4 + m = 0$，所以$m = 6$，所以所求直线方程为$x - 2y + 6 = 0$。②因为点M在直线l上，设点$M(2y_{0} - 1,y_{0})$，因为$AM⊥l$，且直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，故$k_{AM} = \frac{y_{0} - 4}{2y_{0} - 3} = -2$，解得$y_{0} = 2$，所以点M的坐标为$(3,2)$。