《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例 1]（对接教材例 4）
已知 $A(2,2)$，$B(5,3)$，$C(3,-1)$。
(1) 求 $\triangle ABC$ 的外接圆的一般方程；
(2) 点 $M(a,2)$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圆上，试求 $a$ 的值。
(1)设$\triangle ABC$外接圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$，由题意得$\begin{cases}2^{2}+2^{2}+2D + 2E + F = 0\\5^{2}+3^{2}+5D + 3E + F = 0\\3^{2}+(-1)^{2}+3D - E + F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D = - 8\\E = - 2\\F = 12\end{cases}$，即$\triangle ABC$的外接圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}-8x - 2y + 12 = 0$。
(2)因为点$M(a,2)$在(1)所求的圆上，故点$M(a,2)$的坐标满足圆的方程，可得$a^{2}+2^{2}-8a - 2×2 + 12 = 0$，即$a^{2}-8a + 12 = 0$，解得$a = 2$或$a = 6$。

答案：
(1)设$\triangle ABC$外接圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$，由题意得$\begin{cases}2^{2}+2^{2}+2D + 2E + F = 0\\5^{2}+3^{2}+5D + 3E + F = 0\\3^{2}+(-1)^{2}+3D - E + F = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}D = - 8\\E = - 2\\F = 12\end{cases}$，即$\triangle ABC$的外接圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}-8x - 2y + 12 = 0$。
(2)因为点$M(a,2)$在
(1)所求的圆上，故点$M(a,2)$的坐标满足圆的方程，可得$a^{2}+2^{2}-8a - 2×2 + 12 = 0$，即$a^{2}-8a + 12 = 0$，解得$a = 2$或$a = 6$。

已知点 $A(0,0)$,$B(0,2)$,$C(3,-1)$,$D(4,2)$ 在同一个圆上,则这个圆的方程为 $\underline{$x^{2}+y^{2}-4x - 2y = 0$}$。

答案： $x^{2}+y^{2}-4x - 2y = 0$

[例 2](对接教材例 5)
已知点 $A(2,0)$ 是圆 $x^{2}+y^{2}= 4$ 上的定点,点 $B(1,1)$ 是圆内一点,$P$ 为圆上的动点。
(1) 求线段 $AP$ 的中点 $M$ 的轨迹方程；
(2) 求过点 $B$ 的弦的中点 $T$ 的轨迹方程。
母题探究
若 $Q$ 也是圆 $x^{2}+y^{2}= 4$ 上的动点,且 $\angle PBQ = 90^{\circ}$,求线段 $PQ$ 的中点 $N$ 的轨迹方程。

答案：
(1)设线段AP的中点$M(x,y)(0\leq x＜2)$，由中点坐标公式，得点P的坐标为$(2x - 2,2y)$。因为点P在圆$x^{2}+y^{2}=4$上，所以$(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$，故线段AP的中点M的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1(0\leq x＜2)$。
(2)设$T(x,y)$。因为点T是弦的中点，所以$OT⊥BT$（O为坐标原点）。方法一:当OT，BT斜率都存在时，有$k_{OT}\cdot k_{BT}=-1$，即$\frac{y}{x}\cdot\frac{y - 1}{x - 1}=-1$，整理得$x^{2}+y^{2}-x - y = 0$。当$x = 0$或$x = 1$时，点$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，$(1,1)$也都满足方程。故所求轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x - y = 0$。方法二:易得$OT⊥BT$，$\overrightarrow{OT}\cdot\overrightarrow{BT}=(x,y)\cdot(x - 1,y - 1)=0$，整理得$x^{2}+y^{2}-x - y = 0$。方法三:由圆的几何性质可知，点T一定在以线段OB为直径的圆上，此时圆心坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，半径为$\frac{1}{2}|OB|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以点T的轨迹方程为$(x - \frac{1}{2})^{2}+(y - \frac{1}{2})^{2}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$，整理得$x^{2}+y^{2}-x - y = 0$。母题探究：设线段PQ的中点$N(x,y)$，在$Rt\triangle PBQ$中，$|PN|=|BN|$。设O为坐标原点，连接ON(图略)，则$ON⊥PQ$，所以$|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$，所以$x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，故线段PQ的中点N的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x - y - 1 = 0$。