《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1. 在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{c}$,点 $P$ 在 $A_1C$ 上,且 $A_1P:PC = 1:2$,则 $\overrightarrow{AP} = $ (A)

A.$\frac{2}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c}$
B.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b} + \frac{2}{3}\boldsymbol{c}$
C.$-\frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{2}{3}\boldsymbol{c}$
D.$\frac{1}{3}\boldsymbol{a} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \frac{2}{3}\boldsymbol{c}$

答案： A

2. 设 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个基底,若向量 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$,则向量 $\boldsymbol{p}$ 在基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 下的坐标为 $(x,y,z)$.若向量 $\boldsymbol{q}$ 以 $\{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b},\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c},\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}\}$ 为基底时的坐标为 $(3,-1,2)$,则 $\boldsymbol{q}$ 在以 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 为基底时的坐标为 (C)
A.$(2,-3,-1)$
B.$(3,-1,2)$
C.$(1,2,3)$
D.$(1,2,1)$

答案： C

3. 已知 $\overrightarrow{OA} = (1,-1,1)$,$\overrightarrow{OB} = (2,0,-1)$,点 $P$ 在线段 $AB$ 上,且 $AP = 2PB$,则向量 $\overrightarrow{AP}$ 的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$.

答案： $(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$

4. 如图,$M$ 是三棱锥 $P - ABC$ 的底面 $\triangle ABC$ 的重心.若 $\overrightarrow{PM} = x\overrightarrow{PA} + y\overrightarrow{PB} + 2z\overrightarrow{PC}(x,y,z \in \mathbf{R})$,则 $x + y - z$ 的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

[例 1]
(1)(2025·长沙期中)已知非零向量 $\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{m} - 2\boldsymbol{n} - 4\boldsymbol{p}$,$\boldsymbol{b} = (x + 1)\boldsymbol{m} + 8\boldsymbol{n} + 2y\boldsymbol{p}$,且 $\boldsymbol{m}$,$\boldsymbol{n}$,$\boldsymbol{p}$ 不共面,若 $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$,则 $x + y = $ (B)
A.$-13$
B.$-5$
C.$8$
D.$13$

答案： B

(2)如图所示,若 $P$ 为平行四边形 $ABCD$ 所在平面外的一点,$H$ 为棱 $PC$ 上的点,且 $\frac{PH}{PC} = \frac{1}{3}$,点 $G$ 在 $AH$ 上,且 $\frac{AG}{AH} = m$,若 $G$,$B$,$P$,$D$ 四点共面,则实数 $m$ 的值是$\frac{3}{4}$.

答案： $\frac{3}{4}$